Метод сечений в стереометрии

Из опыта работы школы N 759 Северо-Восточного учебного округа г. Москвы за 1990-1997 гг.

Курс стереометрии общеобразовательной школы по программе, рассчитанной на два урока в неделю, страдает в своей практической части недостаточной преемственностью курса планиметрии, слабой взаимосвязью с другими учебными предметами и не является в полной мере составной частью базы знаний, необходимых учащимся для продолжения образования в высших учебных заведениях.

Метод сечений, широко известный своей универсальностью, применяется в некоторых разделах физики, в теоретической механике, сопротивлении материалов, гидравлике, в некоторых разделах высшей математики и других естественных науках и технических дисциплинах высшего образования. Этот метод оказывает значительное влияние на развитие у учащихся пространственных представлений и пространственного мышления.

Данный материал характеризуется следующими особенностями:

1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

2. В задачах используются в основном простейшие многогранники - с целью доступности решения таких задач как учащимися, так и учителями, а также ввиду возможности применения одних и тех же геометрических конструкций по нескольку раз для изучения различных тем.

3. Учителям, знакомящимся СЃ данным материалом, предлагается самим оценить уровень его трудности РІ соответствии СЃ уровнем подготовки СЃРІРѕРёС… учащихся. Материал как полностью, так Рё частично, может быть полезен классам Рё школам всех типов, РІ том числе Рё классам СЃ СѓРіР»СѓР±Р»РµРЅРЅС‹Рј изучением математики.

4. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного применения. В некоторых задачах намеренно повторяются алгоритмы вычисления различных элементов с целью упрочнения умений и навыков учащихся и стандартизации подхода к решению предложенных и аналогичных задач.

Материал расположен в той последовательности, в какой он применялся для обучения учащихся. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа «от простого к сложному» можно весьма условно следующим образом:

I. Нахождение площади сечений в многогранниках (до изучения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
II. Использование свойств подобных треугольников.
III. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках.
IV. Определение угла между плоскостями.
V. Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
VI. Отношение объемов частей многогранника.
VII. Наибольшее и наименьшее значения площади переменного сечения в многогранниках.
VIII. Вращение многогранников.

Применение метода сечений в практической части большинства тем стереометрии подтверждает его универсальность.

Тема I.

Нахождение площади сечений в многогранниках

(до изучения теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника)

1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и C1D1 соответственно, если A1E = k•D1E и C1F = k•D1F.

no35_1.gif (4826 bytes)

 

 

 

 

DE =no35_2.gif (364 bytes) .

В сечении - равнобедренный треугольник DEF.

h = no35_17.gif (1241 bytes).

Ответ:

Sсеч.= SDDEF =no35_28.gif (1490 bytes)   .

Возможные варианты:

k = 0  Р® Sсеч. =wpeC.jpg (1152 bytes) (равносторонний DA1C1D);

k = 1  Р® Sсеч.=wpeD.jpg (1004 bytes) ; k = 2  Р® Sсеч. =wpeE.jpg (1247 bytes) ;

k = 3  Р® Sсеч. = wpe7.jpg (1292 bytes); k = 4  Р® Sсеч. = wpe10.jpg (1259 bytes);

k = 6  Р® Sсеч. =wpe11.jpg (1356 bytes) ; k = 1,5  Р® Sсеч. = no35_19.gif (1024 bytes);

k = 0,5  Р® Sсеч. = no35_20.gif (1014 bytes); k = 0,1  Р® Sсеч. = no35_21.gif (1073 bytes) .

2. Найти площадь сечения РєСѓР±Р° ABCDA1B1C1D1 СЃ ребром Р° плоскостью, проходящей через вершины C1 Рё D Рё С‚очку E РЅР° ребре A1D1, если A1E = k•D1E.

no35_3.gif (5910 bytes)

В сечении - равнобедренный треугольник C1DE.

.wpe12.jpg (2203 bytes)

Ответ:

Sсеч. =SDC1DE =wpe13.jpg (2729 bytes) .

Возможные варианты:

k = 1 Ю Sсеч. = no35_29.gif (990 bytes); k = 2 Ю Sсеч. =no35_23.gif (1004 bytes) ;

k = 3 Ю Sсеч. = no35_24.gif (1009 bytes); k = 4 Ю Sсеч. = no35_25.gif (1024 bytes);

k = 0,75 Ю Sсеч. = no35_26.gif (941 bytes);

k = 0,4 Ю Sсеч.. = no35_27.gif (1036 bytes).

3. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и D1C1 соответственно, если D1E = k•A1E и C1F = k•D1F.

no35_4.gif (10076 bytes)

В сечении - произвольный треугольник DEF.

no35_30.gif (1309 bytes).

Алгоритм нахождения площади треугольника по трем сторонам, выраженным неравными иррациональными числами:

1) для стороны DE по теореме косинусов

DE2 = EF2 + DF2 – 2•EF•DF•cos a Ю

no35_32.gif (2476 bytes) ;

2) no35_33.gif (1748 bytes) ;

3) Sсеч. = SDDEF =no35_34.gif (1375 bytes)

Возможные варианты (k № 0 и k № 1):

k = 2 Ю Sсеч. =no35_35.gif (938 bytes); k = 3 Ю Sсеч. = wpe14.jpg (1114 bytes);

k = 5 Ю Sсеч. = wpe15.jpg (1109 bytes); k = 1,5 Ю Sсеч. = wpe16.jpg (1102 bytes).

4. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины A1 и C1 и точку F на ребре AD, если AF = k•DF.

no35_6.gif (12794 bytes)

Сначала устанавливаем вид фигуры.

FE || A1C1 (методом «от противного»); затем, переходя от подобия DA1D1M и DFDM к подобию DC1D1M и DEDM, устанавливаем, что DF = DE.

Можем РЅРµ строить С‚. M, Р° доказать, что FE || A1C1, применив теорему Рѕ РґРІСѓС… параллельных плоскостях, пересеченных третьей плоскостью; затем, применив теорему Рѕ РґРІСѓС… прямых, параллельных третьей (AC || A1C1 Рё FE || A1C1 Р® FE || AC), можем рассмотреть РїРѕРґРѕР±РёРµ DACD Рё DFED.

В результате получим DF = DE Ю AF = CE Ю DAA1F = DCC1E (по двум катетам) Ю A1F = C1E.

В сечении - равнобокая трапеция.

wpe17.jpg (5929 bytes)

 

Sсеч. = SA1C1EF = no35_31.gif (1731 bytes).

Возможные варианты:

k = 1 Ю Sсеч. = wpe19.jpg (1041 bytes); k = 2 Ю Sсеч. = wpe1A.jpg (1313 bytes);

k =wpe1F.jpg (876 bytes) Ю Sсеч. =wpe1B.jpg (1355 bytes) ; k =wpe20.jpg (854 bytes) Ю Sсеч. =wpe1C.jpg (1336 bytes) ;

k =wpe21.jpg (839 bytes)Ю Sсеч. = wpe1D.jpg (1364 bytes); k =wpe22.jpg (909 bytes) Ю Sсеч. =wpe1E.jpg (1491 bytes) .

5. Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды ABCDM с ребрами а (половинка октаэдра) плоскостью, проходящей через сторону основания AD и точку E на боковом ребре MC, если CE = k•ME.

no35_7.gif (6319 bytes)

Сначала обосновываем EF || AD («от противного») Ю DMEF - равносторонний Ю EF =wpe23.jpg (1007 bytes) ; затем находим DE из DCDE по теореме косинусов (и аналогично - AF).

В сечении - равнобокая трапеция.

Ответ: Sсеч. = SAFED = wpe24.jpg (2499 bytes).

Возможные варианты:

k = 1 Ю Sсеч.= wpe25.jpg (1319 bytes); k = 2 Ю Sсеч. = wpe26.jpg (1232 bytes);

k = 4 Ю Sсеч.= wpe27.jpg (1355 bytes); k = wpe29.jpg (854 bytes)Ю Sсеч. = wpe28.jpg (1240 bytes).

6. Найти площадь сечения правильного тетраэдра ABCM с ребром а плоскостью, проходящей через точки D, E и F на ребрах MA, MB и BC соответственно, если MD : AD = ME : BE = BF : CF = k.

no35_8.gif (8136 bytes)

В сечении - равнобокая трапеция.

Ответ: Sсеч. = SDEFN = wpe2A.jpg (1925 bytes) .

Возможные варианты:

wpe2B.jpg (1415 bytes) Р® Sсеч.=wpe30.jpg (1241 bytes) ;   wpe2C.jpg (1376 bytes) Р® Sсеч. = wpe31.jpg (1152 bytes);

wpe2D.jpg (1367 bytes) Ю Sсеч. = wpe32.jpg (1240 bytes); wpe2E.jpg (1584 bytes) Ю Sсеч. = wpe33.jpg (1242 bytes);

wpe2F.jpg (1555 bytes) Ю Sсеч. =wpe34.jpg (1252 bytes) ; k = 1 Ю Sсеч. = wpe35.jpg (910 bytes)(квадрат).

7. Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через сторону основания A1B1 и точку D на стороне BC другого основания, если CD = k•BD, сторона основания призмы равна а и высота H = na.

no35_9.gif (19362 bytes)

В сечении - равнобокая трапеция.

Ответ:

Sсеч. = wpe36.jpg (3379 bytes) .

Для подбора вариантов удобно назначить

n = wpe37.jpg (1274 bytes) Р®

Ю Sсеч. = wpe38.jpg (2345 bytes).

8. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.

DF =wpe39.jpg (839 bytes)  (находим РёР· РїРѕРґРѕР±РёСЏ).

no35_10.gif (9308 bytes)

В сечении - неравнобокая трапеция.

Из DMEF по теореме косинусов определяем cos a=wpe3A.jpg (877 bytes) ,
затем sin a = wpe3B.jpg (1069 bytes);

Sсеч. = SС1NFM = wpe3C.jpg (1708 bytes) sin a= wpe3D.jpg (1323 bytes).

no35_11.gif (2453 bytes)

Приведем другой способ нахождения площади неравнобокой трапеции, стороны которой не являются рациональными числами:

wpe3E.jpg (1909 bytes) Р® wpe3F.jpg (2220 bytes) Р® wpe40.jpg (2111 bytes)

h = wpe41.jpg (1081 bytes); Sтрап. = wpe42.jpg (993 bytes)Чh.

Аналогичная задача с изменением условия:

D1M = 3Р§A1M.

В этом случае D1M =wpe43.jpg (905 bytes) Ю DF =wpe44.jpg (896 bytes) ; Sсеч. = wpe45.jpg (1413 bytes).

9. Найти площадь сечения РєСѓР±Р° ABCDA1B1C1D1 СЃ ребром Р° плоскостью, проходящей через вершины B1 Рё D Рё СЃРµСЂРµРґРёРЅСѓ ребра CC1.

В сечении - ромб.

no35_12.gif (5064 bytes)

Ответ:

Sсеч. =SB1MDN = wpe46.jpg (854 bytes)ЧB1DЧMN = wpe46.jpg (854 bytes) B1DЧAC = wpe47.jpg (1891 bytes).

10. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2•CM.

no35_13.gif (6860 bytes)

wpe48.jpg (3603 bytes).

В сечении - параллелограмм.

Из DB1DM по теореме косинусов находим cos a=wpe49.jpg (1047 bytes) , затем sin a=wpe4A.jpg (1179 bytes) ;

Sсеч. =SB1MDN = B1DЧB1MЧsin a =wpe4B.jpg (1219 bytes) .

Аналогичная задача с изменением условия:

C1M = 3Р§CM.

Тогда Sсеч.=wpe4C.jpg (1237 bytes).

11. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину B1 и середины ребер AD и CD.

no35_14.gif (9329 bytes)

wpe4D.jpg (3685 bytes).

В сечении - пятиугольник.

Так как DDEF =DCTF, то CT = wpe4E.jpg (846 bytes); затем из подобия DBB1T и DCMT определяем CM =wpe4F.jpg (838 bytes) Ю C1M =wpe50.jpg (900 bytes);

MN = AC = wpe51.jpg (902 bytes); пятиугольник состоит из равнобокой трапеции и равнобедренного треугольника;

Sсеч. = wpe52.jpg (1369 bytes).

Примечание к задаче 11. Пятиугольник можно достроить до ромба.

12. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания а и высотой H=na найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину C и середины ребер AA1 и A1B1.

no35_15.gif (16067 bytes)

В сечении - произвольный четырехугольник.

no35_16.gif (4813 bytes)

Так как DA1DM = DB1FM, то B1F = wpe53.jpg (901 bytes); затем из подобия DBCF и DB1NF определяем B1N =wpe54.jpg (838 bytes) Ю C1N =wpe55.jpg (900 bytes) . Отрезок MN находим из DMNB1 по теореме косинусов; диагональ CM можно найти из прямоугольного треугольника CC1M (на рисунке не показан). Площадь четырехугольника CDMN определяем по сумме площадей треугольников CDM и CMN, введя вспомогательные углы a и b.

SDCDM = wpe56.jpg (1955 bytes) SDCMN = wpe57.jpg (2015 bytes);

Sсеч. =wpe58.jpg (2053 bytes) .

Возможные варианты:

n =wpe59.jpg (895 bytes) = 1 Ю Sсеч. = wpe5A.jpg (1366 bytes); n = wpe5D.jpg (877 bytes)Ю Sсеч. =wpe5B.jpg (1353 bytes) ;

n =wpe5E.jpg (906 bytes) Ю Sсеч. =wpe5C.jpg (1355 bytes) .

 

 

TopList