Решение неравенств методом интервалов

В этой статье мы постараемся показать применение методов интервалов для решения иррациональных, показательных, логарифмических и других неравенств.
Универсальность метода интервалов заложена уже в его содержании. Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.
Иллюстрацию изменения знаков функции будем осуществлять с помощью координатной прямой.
Естественно, что показ учащимся метода интервалов для решения более широкого класса неравенств можно давать после рассмотрения традиционных приемов их решения.
Все рассматриваемые упражнения взяты из вариантов вступительных экзаменов в различные вузы страны.
Материал представляет, по мнению автора, интерес для проведения факультативных занятий.

I. Примеры решения иррациональных неравенств

1. .

Решение. Введем функцию f(x) = – 3. Необходимо определить промежутки, на которых f(x)Ј 0. Очевидно, что D(f) = [0;Ґ). Нули f(x): x = 9. no39_1.gif (795 bytes)

f(16) >0,
f(4) < 0.

Ответ: [0; 9].

2. < 2 – x.

Решение. Традиционное решение этого неравенства приводит к системе неравенств

Решение этого неравенства можно осуществить, положив = y, где y і 0. Получаем

y < 20 – y², y² + y – 20 < 0, (y + 5)(y – 4) < 0,

откуда y < 4, поскольку yі0. Итак, < 4 и – 18Ј x Ј –2.

Интересен и такой вариант (графический) решения примера. Если заметить, что f(x) = – функция возрастающая на луче [– 18; +Ґ ), а g(x) = 2 – x – убывающая на R и x = 2 – абсцисса их точки пересечения и при этом f(– 14) < g(– 14), то ясен и

ответ: [– 18; – 2).

Обратимся к теме статьи. Пусть f(x) =+ x – 2. Надо решить неравенство f(x)< 0. Заметим, что D(f)=[– 18; +Ґ). Нули функции найдем, решив уравнение = 2 – x, откуда x = – 2.

Применяем метод интервалов: no39_2.gif (889 bytes)

f(– 14) < 0,
f(7) > 0.

Ответ: [– 18; – 2).

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств

. Ю xі 4.

Для функции f(x) = – 20 D(f) = [4; + Ґ). Далее находим нули f(x):

wpe46.jpg (6438 bytes)

откуда x = 29 и x = 13 – посторонний корень. no39_3.gif (896 bytes)

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

Примечание. Это неравенство можно решить, например, выполнив замену переменной = y, где y і 0.

4. < 1.

Решение. Область определения функции f(x) = – 1 найдем, решив систему неравенств

Легко видеть, что .

Находим нули функции f(x):

1 – 2x = , – 4x + 12x² = 0, x = 0 – посторонний корень, x = ;

no39_4.gif (1274 bytes)

f(– 0,1) = – 1 = – 1 < 0,
f(0,1) = – 1 = < 0,
f(0,34) = – 1 = > 0.

Ответ:.

Примечание. Этот пример показывает, что для двух чисел, «близко» расположенных на координатной прямой, применение метода интервалов осуществимо.

5. >x – 1.

Решение. Пусть f(x) = – x + 1. Найдем область определения этой функции, для чего решим неравенство x³ + x² – 2x і 0 методом интервалов:

no39_5.gif (867 bytes)

D(f) =.

Ищем нули функции f, решив уравнение

= x – 1, x³ = 1 и x = 1,

где x = 1 удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет исходному неравенству.

Далее применяем метод интервалов: no39_6.gif (994 bytes)

f(– 1) = + 2 > 0,
f(2) = – 1 > 0.

Ответ: .

Традиционное решение данного неравенства сводится к совокупности двух систем:

Примечание. Отметим, что не идет речь о преимуществах того или иного способа решения неравенств, а показывается применение метода интервалов на более широком классе неравенств.

Упражнения

Решите неравенства методом интервалов:

1. .
2. .
3. .
4. .

II. Примеры решения показательных неравенств

1. 4^x < 2^x+1 + 3.

Решение. Если f(x) = 4^x – 2•2^x – 3, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x) < 0. Найдем нули

f: 4^x–2•2^x – 3 = 0, откуда 2^x = 3, x = log₂3.

Далее применяем метод интервалов: no39_7.gif (923 bytes)

f(0) < 0, f(2) > 0.

Ответ: (– Ґ; log₂3).

2. – 3 Ј 0.

Решение. Пусть f(x) = – 3. Решаем неравенство f(x)Ј 0. Заметим, что D(f) = (– Ґ; 0)И(0; + Ґ). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение:

– 3 = 0.

Полагая = t, где t > 0, приходим к уравнению t² – t – 3 = 0 с положительным корнем t = 2. Следовательно, = 2 и x = .

Применяем метод интервалов: no39_8.gif (772 bytes)

f(1) < 0,
f > 0,
f(– 1) < 0.

Ответ: (– Ґ; 0) И .

3. 4^x Ј .

Решение. Рассмотрим функцию

f(x) = 4^x – () .

Область определения функции f есть луч [0; + Ґ). Найдем теперь нули функции f:

4^x – () = 0.

Разделив обе части последнего уравнения на , получим

откуда = 4, x– = 2, а это уравнение имеет единственный корень x = 4.

no39_9.gif (874 bytes)

f(1) < 0, f(9) = 4⁹ – 3•2¹² – 4⁴ = 2⁸(2¹⁰ – 2•2⁴ – 1) > 0.

Ответ: [0; 4].

4. < 1.

Решение. Введем в рассмотрение функцию f(x) = – 1. Легко видеть, что D(f) = . Находим нули функции f(x): 4^x – 2 – 2^2x += 0. Уравнение корней не имеет. no39_11.gif (782 bytes)

f(0) => 0,
f(1) = < 0.

Ответ: .

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

5. 9^x < 3^x + 2.
6. .
7. .
8. 3•4^x – 7•10^x + 2•25^x > 0.
9..

III. Примеры решения логарифмических
неравенств методов интервалов.

1. lg² x – 2lg x – 8 Ј 0.

Решение. f(x) = lg² x – 2lg x – 8, D(f) = (0; + Ґ). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение

lg² x – 2lg x – 8 = 0,

откуда lg x = – 2, lg x = 4 и x = , x = 10000. no39_12.gif (1281 bytes)

f(10⁵) = 25 – 10 – 8 = 7 > 0,
f(1) < 0,
f(10^–3) = 9 + 6 – 8 = 7 > 0.

Ответ: .

2. log_0,3 (x² – x – 20) – log_0,3 (x + 4) > 0.

Решение. Найдем область определения функции f в левой части неравенства, решив систему неравенств

wpe7C.jpg (1900 bytes) Ю x > 5.

Решая уравнение log_0,3 (x² – x – 20) – log_0,3 (x + 4) = 0, находим нули функции f: x² – x – 20 = x + 4, x² – 2x – 24 = 0, x = – 4 – посторонний корень и x = 6. no39_13.gif (1281 bytes)

f(7) = log_0,3 22 – log_0,3 7 <0,
f(5,5) = log_0,3 4,75 – log_0,3 9,5>5.

Ответ: (5; 6).

3. .

Решение. Пусть f(x) = – 1. Необходимо решить неравенство f(x) Ј 0.

Область определения функции f определяется системой неравенств

wpe84.jpg (3742 bytes)

Итак, D(f) = .

Найдем нули функции f:

log₃ (5x + 1) = log₃ (7x – 1)²,

откуда 49x² – 19x = 0, x = 0 – посторонний корень, x = – корень уравнения.

no39_14.gif (1281 bytes)

f(1) = < 0,
f(0,3) = > 0,
f(0,2) = – 1 < 0, так как log₃ 2 > 0, log₃ 0,4 < 0.
f(0,1) = < 0,
f(– 0,1) = < 0.

Ответ: .

4. log_3x+1 і 0.

Решение. Для функции f(x) = log_3x+1 находим область определения. Решаем систему неравенств:

wpe8F.jpg (3778 bytes) .

Найдем нули функции: log_3x+1 = 0, = 1, но последнее уравнение корней не имеет.

Применяем метод интервалов:

no39_15.gif (1144 bytes)

f(5) = log₁₆ 3 > 0,
f(1) = log₄< 0,
f(– 0,2) = log_0,4 > 0.

Ответ: (4; + Ґ).

5. log_x2 Ј 2.

Решение. Для функции f(x) = log_x 2 – 2 имеем D(f) = (0; 1) И (1; + Ґ). Очевидно, что для нахождения нулей f необходимо решить уравнение x = , откуда x = 2.

Применяем метод интервалов:

no39_16.gif (1149 bytes)

f(4) = log₄ 2 – log₂ 2 < 0,

f(1,5) = wpe96.jpg (4850 bytes) ,

f = .

Ответ: (0; 1) И [2; +Ґ).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

10.
11. log₂ (x + 1) < 1 – 2log₄ x.
12. .
13. log_x < 1.
14. log_x 3 Ј log_2x+3 9.
15. log_x (1 – 2x) < 1.
16. log₃ log₂₇ log₂ (x² + x + 2) Ј –1.

IV. Примеры на применение метода интервалов
к неравенствам, содержащим знак модуля.

1. x² > | 5x + 6 |.

Решение. Функция f(x) = x² – | 5x + 6 | определена при любом x. Найдем ее нули, решив уравнение
x²=| 5x + 6 |, откуда x² = 5x + 6 или x² = – (5x + 6), т. е.

x² – 5x – 6 = 0 или x² + 5x + 6 = 0.

Корни этих уравнений – 1, 6, – 2, – 3.

Далее применяем метод интервалов:

no39_17.gif (826 bytes)

f(7) > 0, f(0) < 0, f(– 1,5) > 0, f(– 2,5) < 0, f(– 4) > 0.

Ответ: (– Ґ; – 3) И (– 2; – 1) И (6; + Ґ).

Примечание. Неравенство можно также решить, заменив его на равносильное (x² – 5x – 6)(x² + 5x + 6) > 0.

2. y² – 4| y | < 12.

Решение. Здесь положим f(y) = y² – 4| y | – 12. Заметим, что D(y) = R и найдем нули функции f: y² – 4| y | – 12=0, откуда | y | = 6, | y | = – 2. Последнее уравнение корней не имеет.

Ответ: – 6 < y < 6.

3. .

Решение. Заменим неравенство на равносильное wpe9C.jpg (1665 bytes) Ј 0 и положим f(x) = . Ясно, что D(f) = (– Ґ; – 2) И (– 2; 2) И (2; + Ґ). Находим нули функции f, решая уравнение | 3x | = | x² – 4 |, которое распадается на два: