тема «Вычисление площадей с помощью интегралов»

Комбинированные задания для организации повторения

алгебра · 11 класс

15*. Заданы функции f(x) = и g(x) = ; l – касательная к графику функции g(x), перпендикулярная биссектрисе I и III координатных углов. При каком значении a (a > 1) S = 2?

Указания к решению:

1) Найдем абсциссу точки касания:

2) Составим уравнение касательной l:

3) Найдем точки пересечения касательной с графиком функции f(x):

4)

5) Решая уравнение

находим a = .

Ответ: a = .

16. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках:

(аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза.)

Указания к решению:

Sn = = , где n = 1, 2, 4, 8, 16, ... ;    

Ответ: 4 кв. ед.

17. При каком значении  кв. ед.?

Указания к решению:

1)

2)

откуда cos a = Ю a = arccos .

Ответ: a = arccos .

18. Найти значение a, при котором S =кв. ед.

Указания к решению:

1) Найдем точку пересечения графиков:

a cos x = sin x Ю x = arctg a.

2) S =

3)

Ответ: a = .

19. При каком значении a (a№ 0) площадь фигуры, ограниченной графиками функций

f(x) = ax² и g(x) = 2x,   меньше кв. ед.?

Указания к решению:

1) Найдем точки пересечения графиков:

ax² = 2x Ю x₁ = 0, x₂ = .

2)

3)

Ответ: | a | > .

20. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² – 2 и прямой AB, равна 4,5 кв. ед. Найти координаты точки B, если известно, что в точке A функ-ция f(x) имеет минимум.

Указания к решению:

1) Найдем координаты точки A: A(0; – 2).

2) Запишем абсциссы точек пересечения графика функции f(x) и AB: x = 0 и x = k.

3) S =.

4) = 4,5 Ю k = 3.

5) f(3) = 7.

6) В силу симметрии x = – 3 и f(3) = 7.

Ответ: (3; 7) и (– 3; 7).

21. При каких значениях t S₁ больше S₂ на 0,125 кв. ед.?

Указания к решению:

1)

2) S₁ – S₂ = 0,125 Ю sin t – 2 sin² t = ;

решая это уравнение, находим t = arcsin.

Ответ: t = arcsin .

22. Найти значения t, при которых S = 1 кв. ед.

Указания к решению:

Случай 1: 0 < t < ;

S = n;

Случай 2: – 4 < t < 0; 

Ответ: t = , t = .

23*. Задана функция f(x) = sin x, x О [0;p]. Отрезок AB длиной скользит по оси Ox. Найти координаты таких точек D и C, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна кв. ед.

Указания к решению:

1) Пусть A(t; 0), тогда

2)

3) Решая уравнение

sin t + cos t = ,

находим t = .

Ответ:

_{В. Кривоногов,
Ковригинская средняя школа,
Городецкий район
Нижегородской области}