Пример 1. Дана функция f(x) = 3x2 – 4. Найти:
Решение: f(4) = 3•42 – 4 = 48 – 4 = 44;
f(a3 + 1) = 3(a3 + 1)2 – 4 = 3(a6 + 2a3 + 1) – 4 =
= 3a6 + 6a3 – 1;
f(t) = 3t2 – 4;
Пример 2. Найти функцию f(x), если f(x + 1) = x2 + 2x + 2.
Решение. Пусть x + 1 = a, тогда x = a – 1; f(a) = (a – 1)2 + 2(a – 1) + 2 = a2 – 2a + 1 + 2a – 2 + 2 = a2 + 1.
Ответ: f(x) = x2 + 1.
Пример 3. F(2x – 1) = 4x – 7; F(g(x)) = x3. Найти g(x).
Решение. Пусть 2x – 1 = a,
тогда 
т. е. F(x) = 2x – 5. Значит,
F(g(x)) = 2g(x) – 5. 2g(x) – 5 = x3.
Ответ: 
Пример № 229г (из учебника «алгебра, 10–11» А.Н. Колмогорова). Найти такую функцию f, что
f(g(x)) = x, g(x) = x2 + 1, x Ј 0.
Решение. По условию f(x2 + 1) = x, x Ј 0.
Пусть x2 + 1 = t,
тогда 
Ответ: 
Пример 4. Найти F(x), если F(sin x) + F(cos x) = 3.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
F(sin x) + F(cos x) = 3(sin2 x + cos2 x).
В выражении sin x заменим букву x на m, получим sin m. Допустим, что cos x = sin m, выразим x через m:
x = arccos (sin m).
Уравнение примет вид
F(sin m) + F(cos (arccos (sin m))) = 3(sin2 m + sin2 m),
2F(sin m) = 3•2sin2 m,
т. е. F(sin m) = 3sin2 m; F(x) = 3x2.
Ответ: F(x) = 3x2.
Пример 5. Найти функцию f(x), если
Решение. В дроби 
заменив x на m,
получим 
Пусть 
Выразим x через m,
получим 
Найдем значение дроби 
через m:
и значение дроби в правой
части данного уравнения тоже при 
Получим новое уравнение (при аргументе m)
или, заменив букву m на x,
Вместе с данным уравнением составим систему
Эта система, линейная
относительно неизвестных 
и 
решается любым из возможных способов. Ее решение (после упрощения):
или
Найдем f(t), если
допустим, что 
Выразим x через t: 
Тогда 
Аналогичный результат получим из первого уравнения последней системы.
Ответ: 
Пример 6. Найти функцию f(x), если
Решение. Пусть 
тогда 
Получим новое уравнение с переменной t
Заменив t на x, запишем 
Составим систему с данным уравнением, переставив слагаемые
Исключим из системы
неизвестное 
Ответ:
Пример 7. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений
Решение. Пусть 
Тогда 
и первое уравнение примет вид 
Заменим t на x. Получим систему
Вычитая уравнения почленно, находим
а затем и 
Пусть 2x + 1 = a, тогда
Следовательно,
Ответ: 
Пример 8. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений
Решение. Пусть 
откуда 
и второе уравнение перепишется в виде
Система примет вид
Исключим функцию F(•):
Значит, 
Пусть 
тогда 
F(a) = 2a + 3.
Ответ: F(x) = 2x + 3, g(x) = 0.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Найдите функцию F(x) из уравнений:
2. Найдите g(x), если
1) F(x – 1) = 2x – 3, F(g(x)) = 3x – 4.
2) F(x) = x3, F(g(x)) = 2x + 1.
3. Найдите F(x) и g(x) из систем уравнений:
Ответы
