В одной задаче – почти вся планиметрия!

15 способов решения одной геометрической задачи

Задача. В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции.

Способ 1.

1. Продолжим BC вправо. Проведем DK || AC. Так как ACKD – параллелограмм, то DK = 6 см.
2. BD
^ DK, так как BD ^ AC. D BDK – прямоугольный.

3. BK = BC + AD. Средняя линия равна половине BK, т. е. 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 2 (похожий на способ 1).

Проведем CE || BD до пересечения с продолжением AD. DE = BC, так как DBCE – параллелограмм. AE вычислим по теореме Пифагора из D ACE (CE || BD, но BD ^ AC, следовательно, CE ^ AC):

AE = a + b. Но средняя линия равна
т. е. равна 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 3.

1. MN – средняя линия трапеции. Проведем MK || BD и соединим точки N и K.
2. NK – средняя линия
D ACD, следовательно,
3. MK – средняя линия
D ABD, следовательно,
4. Р MKN = Р AOD как углы с соответственно параллельными сторонами.

5. D MNK – прямоугольный.

Ответ: 5 см.

Способ 4.

Соединим середины сторон трапеции. Легко доказать, что MPNQ – параллелограмм с прямым углом, т. е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ = 5 см (египетский треугольник).

Ответ: MN = 5 см.

Способ 5 (с использованием векторного аппарата).

Пусть точки M и N – середины сторон BC и AD. Можно доказать, что

т. е. векторы коллинеарны и точки M, O, N лежат на одной прямой. Известно, что

Используя предыдущий способ, легко показать, что MN равно длине средней линии в этой трапеции.

Ответ: 5 см.

Способ 6 (с использованием векторного аппарата).

Сложим эти равенства почленно:

Но средняя линия равна полусумме AD и BC, т. е. 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 7.

1. Продолжим CA на расстояние AM = CO. Через точку M проведем MN || AD. BD З MN = N.
2.
D OMN – прямоугольный, OM = 6 см, ON = 8 см. Следовательно, MN = 10 см (теорема Пифагора).
3. Проведем MK || ND. Продолжим AD до пересечения с MK.
D MAK = D BOC (по I признаку), следовательно, AK = BC.
4. MKDN – параллелограмм, DK = MN = 10 см. Но DK = AD + BC. Значит, средняя линия равна 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 8.

Продолжим AC за точку A так, что AM = OC. Продолжим BD за точку D так, что DN = BO. Итак, D OMN – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора MN = 10 см. Проведем AE ^ MN, DF ^ MN, OK ^ BC.

Следовательно, ME = KC и FN = BK, т. е. MN = AD + BC = 10 (см).

Средняя линия равна

Ответ: 5 см.

Способ 9.

Пусть OC = x, BO = y; тогда AO = 6 – x, DO = 8 – y. MN – средняя линия.

1. Из подобия D BOC и D AOD имеем:

2. Из прямоугольного треугольника BOC имеем:

3. Из подобия D BOC и D AOD имеем:

4.

Ответ: 5 см.

Способ 10.

1. Из подобия D BOC и D AOD:

2. Продолжим диагонали на отрезки, равные CO и BO.

3. Из D MON: MN = 10 см.

4. D AOD подобен D MON;

5. В D BOC:

6. D BOC подобен D AOD.

7.

8. Средняя линия равна

Ответ: 5 см.

Способ 11.

Пусть – средняя линия.

OC = x, BO = y, OA = 6 – x, OD = 8 – y. Из подобия D BOC и D AOD:

Пусть x < 3 (половины AC).

Возведем в квадрат:

3a2 – 5ax + 25x – 75 = 0. Решим относительно a:

Ответ: 5 см.

Способ 12 (тригонометрический).

1. Из подобия D BOC и D AOD:
2. D BOC – прямоугольный.
3. Найдем cos a либо по формуле либо методом треугольника:
4. Из D BOC:
5. Из D AOD:
6. Средняя линия равна .

Ответ: 5 см.

Способ 13 (тригонометрический).

1. Из подобия треугольников BOC и AOD:
2. , ax = 6bbx, (a + b)x = 6b,
3.

4.

Ответ: 5 см.

Способ 14.

1.
2. Из
D ACE:

3.

Средняя линия

4. Из D ACE:

5. Подставив в (*), находим

Ответ: 5 см.

Способ 15.

1.так как диагонали d1 ^ d2.

2.

H – высота не только трапеции, но и прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Находим

H=4,8

3.

Ответ: 5 см.

Г. Домкина, Т. лаптева,
школа N№ 713, Москва

TopList