Задача. В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции.
Способ 1.
1. Продолжим BC вправо.
Проведем DK || AC. Так как ACKD –
параллелограмм, то DK = 6 см.
2. BD ^ DK,
так как BD ^ AC. D BDK – прямоугольный.
3. BK = BC + AD. Средняя линия равна
половине BK, т. е. 5 см.
Ответ: 5 см.
Способ 2 (похожий на способ 1).
Проведем CE || BD до пересечения с продолжением AD. DE = BC, так как DBCE – параллелограмм. AE вычислим по теореме Пифагора из D ACE (CE || BD, но BD ^ AC, следовательно, CE ^ AC):
AE = a + b. Но средняя
линия равна
т. е. равна 5 см.
Ответ: 5 см.
Способ 3.
1. MN – средняя линия
трапеции. Проведем MK || BD и соединим точки N и
K.
2. NK – средняя линия D ACD, следовательно,
3. MK – средняя линия D ABD, следовательно,
4. Р MKN = Р AOD как углы с соответственно
параллельными сторонами.
5. D MNK – прямоугольный.
Ответ: 5 см.
Способ 4.
Соединим середины сторон трапеции. Легко доказать, что MPNQ – параллелограмм с прямым углом, т. е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ = 5 см (египетский треугольник).
Ответ: MN = 5 см.
Способ 5 (с использованием векторного аппарата).
Пусть точки M и N – середины сторон BC и AD. Можно доказать, что
т. е. векторы коллинеарны и точки M, O, N лежат на одной прямой. Известно, что
Используя предыдущий способ, легко показать, что MN равно длине средней линии в этой трапеции.
Ответ: 5 см.
Способ 6 (с использованием векторного аппарата).
Сложим эти равенства почленно:
Но средняя линия равна полусумме AD и BC, т. е. 5 см.
Ответ: 5 см.
Способ 7.
1. Продолжим CA на
расстояние AM = CO. Через точку M
проведем MN || AD. BD З MN = N.
2. D OMN
– прямоугольный, OM = 6 см, ON = 8 см.
Следовательно, MN = 10 см (теорема Пифагора).
3. Проведем MK || ND. Продолжим AD до
пересечения с MK. D MAK = D BOC (по I признаку),
следовательно, AK = BC.
4. MKDN – параллелограмм, DK = MN = 10 см.
Но DK = AD + BC. Значит, средняя линия равна
5 см.
Ответ: 5 см.
Способ 8.
Продолжим AC за точку A так, что AM = OC. Продолжим BD за точку D так, что DN = BO. Итак, D OMN – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора MN = 10 см. Проведем AE ^ MN, DF ^ MN, OK ^ BC.
Следовательно, ME = KC и FN = BK, т. е. MN = AD + BC = 10 (см).
Средняя линия равна
Ответ: 5 см.
Способ 9.
Пусть OC = x, BO = y; тогда AO = 6 – x, DO = 8 – y. MN – средняя линия.
1. Из подобия D BOC и D AOD имеем:
2. Из прямоугольного треугольника BOC имеем:
3. Из подобия D BOC и D AOD имеем:
4.
Ответ: 5 см.
Способ 10.
1. Из подобия D BOC и D AOD:
2. Продолжим диагонали на отрезки, равные CO и BO.
3. Из D MON: MN = 10 см.
4. D AOD подобен D MON;
5. В D BOC:
6. D BOC подобен D AOD.
7.
8. Средняя линия равна
Ответ: 5 см.
Способ 11.
Пусть – средняя линия.
OC = x, BO = y, OA = 6 – x, OD = 8 – y. Из подобия D BOC и D AOD:
Пусть x < 3 (половины AC).
Возведем в квадрат:
3a2 – 5ax + 25x – 75 = 0. Решим относительно a:
Ответ: 5 см.
Способ 12 (тригонометрический).
1. Из подобия D BOC и D AOD:
2. D BOC – прямоугольный.
3. Найдем cos a либо по формуле либо методом треугольника:
4. Из D BOC:
5. Из D AOD:
6. Средняя линия равна .
Ответ: 5 см.
Способ 13 (тригонометрический).
1. Из подобия треугольников BOC
и AOD:
2. , ax = 6b
– bx, (a + b)x = 6b,
3.
4.
Ответ: 5 см.
Способ 14.
1.
2. Из D ACE:
3.
Средняя линия
4. Из D ACE:
5. Подставив в (*), находим
Ответ: 5 см.
Способ 15.
1.так как диагонали d1 ^ d2.
2.
H – высота не только трапеции, но и прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Находим
H=4,8
3.
Ответ: 5 см.
Г. Домкина,
Т. лаптева,
школа N№ 713, Москва