Красота всегда притягательна, в образовательном процессе она не оставляет равнодушным никого: ни учителя, ни учащихся, ни их родителей. Потому она так важна в учебном познании, с ее помощью можно усилить интерес детей к математической деятельности, стимулировать их поиск, создать условия для единения эмоционального и рационального и тем самым усилить развивающий эффект обучения.
В приложении «Математика» неоднократно приводились (№ 38, 42/1997 и № 1/1998) задания при изучении координат на плоскости. Эти задания, безусловно, полезны для учащихся, поскольку вызывают у них удивление, пробуждают фантазию, развивают эстетические наклонности. Однако дидактическая ценность большинства таких заданий невелика, бедно и их математическое содержание. Между тем, имеется немало возможностей для включения красивых фигурок в содержательную математическую деятельность поискового или даже исследовательского характера. Красота будет притягивать учеников к выполнению заданий, а исследовательская направленность деятельности – увлекать их познавательным поиском, значительно возрастает интерес к учебной работе.
Приведем примеры заданий исследовательского характера на координатной плоскости с использованием красивых фигурок.
I. Перемещение изображений на координатной плоскости
1. Перемещение по вертикали
Задание 1
На рис. 1 изображена веточка дуба с тремя желудями. Причем два желудя совершенно одинаковы и расположены так, что если переместить верхний желудь строго по вертикали на 9 ед. вниз, то он в точности совпадет с нижним желудем и, наоборот, верхнее изображение может быть получено посредством перемещения нижнего на 9 ед. по вертикали вверх.
Рис. 1
Если переместить изображение фигуры вертикально вниз (вверх) по координатной плоскости, то абсциссы его точек ___________________________________,
а ординаты ___________________________________
на одно и то же исло, равное _____________________________ , на которое выполнено перемещение.
2. Перемещение по горизонтали
Задание 2
На рис. 2 изображен игрушечный состав, состоящий из локомотива и трех вагонов. Первый и третий вагоны совершенно одинаковы и расположены так, что если изображение третьего вагона переместить строго по горизонтали вправо на 18 ед., то оно в точности совпадет с изображением первого вагона и, наоборот, перемещая фигурку первого вагона на 18 ед. влево по горизонтали, можно совместить ее с фигуркой третьего вагона.
Рис. 2
Если переместить изображение фигуры на координатной плоскости влево (вправо) по горизонтали, то ординаты его точек __________________________,
а абсциссы __________________________________________________________
на одно и то же число, равное ________________________, на которое выполнено перемещение.
3. Перемещение в произвольном направлении
Задание 3
На рис. 3 изображен ландыш, у которого четыре цветка. Изображения второго и четвертого цветков совершенно одинаковы, и если второй цветок переместить на 10 ед. вниз строго по вертикали и на 6 ед. влево строго по горизонтали, то он в точности совпадет с четвертым цветком и наоборот, если изображение четвертого цветка переместить на 10 ед. вправо строго по горизонтали и вверх на 6 ед. строго по вертикали, то оно полностью совпадет с изображением второго цветка.
Рис. 3
Если переместить фигуру по координатной плоскости в произвольном направлении, не изменяя ее ориентации относительно вертикали или горизонтали, то абсциссы всех ее точек
________________________________________, и ординаты всех ее точек
_________________________ .
Выводы, сформулированные в заданиях 1–3, позволяют записывать координаты перемещенных фигур, не прибегая к их изображениям на координатной плоскости. При этом надо знать:
1) координаты исходной фигуры;
2) направление перемещения: вправо, влево, вниз, вправо и вверх, вправо и вниз, влево и вверх, влево и вниз;
3) число единиц, на которое это перемещение выполнено,
4) характер изменения координат (выводы 1–3). На первых порах полезно запись вести в таблице, аналогичной тем, которые использовались выше. Узловые точки исходной фигуры можно нумеровать в произвольном порядке, но лучше это делать в той последовательности, которая быстрее позволит восстановить контур перемещенной фигуры.
1. Удлинение (укорачивание) по вертикали вверх (сверху)
Задание 1
На рис. 4 изображен уличный фонарь.
Предположим, что возникла необходимость в увеличении или уменьшении его высоты на несколько единиц. Что произойдет с координатами, если удлинить (укоротить) изображение уличного фонаря? Вообще, как изменятся координаты точек изображения, если удлинить (укоротить) это изображение по вертикали вверх (сверху).
1. При удлинении (укорачивании) изображения какого-либо предмета на координатной плоскости на несколько единиц по вертикали вверх (сверху) абсциссы перемещенных точек _______________,
а их ординаты ____________________________________.
2. Удлинение (укорачивание) по вертикали вниз (снизу)
Задание 2
На рис. 5 изображен зонтик, расположенный вертикально.
Рис. 5
При изготовлении различных модификаций зонта может возникнуть необходимость в рукоятках различной длины. Что произойдет с координатами, если удлинить или укоротить изображение рукоятки зонта? Вообще, как изменятся координаты точек изображения, если удлинить (укоротить) это изображение по вертикали вниз (снизу).
1. При удлинении (укорачивании) изображения какого-либо предмета на координатной плоскости на несколько единиц по вертикали вниз (снизу) абсциссы перемещенных точек ________________,
а их ординаты ____________________________________.
3. Удлинение (укорачивание) по горизонтали вправо (справа), влево (слева)
Задание 3
На рис. 6 изображен обыкновенный гимнастический эспандер, расположенный горизонтально.
Рис. 6
Предположим, что левый конец эспандера зафиксировали и за правый потянули в горизонтальном направлении, удлинив его на 5 ед. Что произойдет с координатами точек изображенной фигуры? Пусть теперь зафиксирован правый конец эспандера, а за левый потянули в горизонтальном направлении, удлинив его на 7 ед. Что произойдет с координатами точек изображенной фигуры? Вообще, как изменятся координаты точек изображения, если удлинить (укоротить) это изображение по горизонтали?
1. При удлинении (укорачивании) изображения какого-либо предмета на координатной плоскости на несколько единиц по горизонтали вправо (справа) ординаты перемещенных точек __________________________________,
а их абсциссы ___________________________________.
2. При удлинении (укорачивании) изображения какого-либо предмета на координатной плоскости на несколько единиц по горизонтали влево (слева)ординаты перемещенных точек __________________________,
а их абсциссы __________________________________________.
4. Удлинение (укорачивание) изображений в произвольном направлении
Задание 4
На рис. 7 изображена строительная машина с телескопической вышкой, которая может выдвигаться в нужном направлении.
Рис. 7
Предположим, что при выполнении строительных работ потребовалось выдвинуть подъемную площадку на некоторое расстояние. · Что произойдет с координатами точек изображенной фигуры? · Вообще, как изменятся координаты изображения, если удлинить (укоротить) это изображение в произвольном направлении?
При удлинении (укорачивании) изображения какого-либо предмета в произвольном направлении на координатной плоскости абсциссы перемещенных точек _____________,
и их ординаты ___________________________________.
Выводы, полученные в заданиях 1–3, во многом аналогичны выводам, сформулированным в п. 1. Однако есть одно существенное различие: при удлинении (укорачивании) изображений на координатной плоскости перемещаются не все точки заданной фигуры, а лишь их некоторая часть, остальные же точки остаются неподвижными и, стало быть, их координаты не изменяются. При удлинении (укорачивании) изображений в координатах сначала записывают координаты заданной фигуры, затем определяют точки, которые необходимо переместить, чтобы удлинить или укоротить изображение, далее определяют направление перемещения этих точек: вправо, влево, вверх, вниз, вправо и вверх, вправо и вниз, влево и вверх, влево и вниз, число единиц, на которое необходимо выполнять перемещение, и, наконец, записывают координаты перемещенных точек (новые) с учетом выводов 1–3 и неподвижных точек (прежние).