10 – 11 классы

Учимся решать уравнения и неравенства

В течение всех лет обучения в школе решают различные виды уравнений и неравенств. Не сосчитать, сколько линейных, квадратичных, дробно-рациональных уравнений и неравенств решили ученики за эти годы. Однако в старших классах при решении показательных или логарифмических уравнений, когда после преобразований ученик переходит к алгебраическому уравнению, он все равно допускает ошибки. Это неудивительно: решение уравнений и неравенств – один из наиболее трудных вопросов. Действительно, чтобы правильно решить уравнение или неравенство, нужно уметь проводить тождественные преобразования входящих в него выражений, нужно уметь безошибочно вычислять, нужно знать, какие способы решения уравнений (неравенств) в каких случаях целесообразнее применить.
Очевидно, что уравнения Рё неравенства, изучаемые РІ старшей школе, осваиваются учащимися хуже, так как РЅР° РёС… рассмотрение отводится незначительное количество часов, Р° РїСЂРё РёС… решении ученику необходимо владеть комплексом умений, полученных РІ РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ школе, Р° также новыми знаниями, связанными СЃ каждым РёР· новых РІРёРґРѕРІ уравнений. Такого объема упражнений, который обычно предлагается РІ учебниках РїРѕ алгебре Рё началам анализа для 10–11-С… классов, СЏРІРЅРѕ недостаточно для формирования умения решать показательные, логарифмические Рё тригонометрические уравнения (неравенства). Восполнить этот пробел поможет РїРѕСЃРѕР±РёРµ «Учимся решать уравнения Рё неравенства» (авторы: Р›.Рћ. Денищева, Рќ.Р’. Карюхина, Рў.Р¤. РњРёС…еева).

Это учебное пособие состоит из трех глав.

Р’ главе 1, состоящей РёР· пяти параграфов, рассматриваются стандартные методы решения тригонометрических, показательных Рё логарифмических уравнений Рё неравенств. Р’ начале главы (§§ 1, 2) учащимся напоминается решение простейших уравнений Рё неравенств. Для приведения знаний РІ систему Рё для обеспечения РёС… лучшего запоминания этот материал сведен РІ таблицу Рё снабжен графическими иллюстрациями.

Приведем фрагмент таблицы, относящийся к решению простейших тригонометрических неравенств.

Параграфы 1, 2 снабжены большим числом тренировочных упражнений. Например, учащимся предлагается решить 25 простейших тригонометрических неравенств, РІ которых задействованы РІСЃРµ табличные значения тригонометрических функций. Выполнение этих заданий РЅРµ должно затруднить учащихся Рё занять Сѓ РЅРёС… РјРЅРѕРіРѕ времени, так как предполагается, что РїСЂРё решении школьники Р±СѓРґСѓС‚ активно использовать рабочую таблицу Рё поэтому РёРј РЅРµ нужно каждый раз чертить тригонометрический РєСЂСѓРі Рё делать необходимый СЂРёСЃСѓРЅРѕРє. Для решения неравенства учащийся РёР· таблицы выбирает нужный СЂРёСЃСѓРЅРѕРє («а» или «б»), вычисляет необходимое значение арксинуса (или РґСЂСѓРіРѕР№ тригонометрической функции) Рё записывает ответ.

Р’ этих же параграфах (§§ 1, 2), РєСЂРѕРјРµ простейших, предлагается решить уравнения Рё неравенства, которые Р·Р° РѕРґРёРЅ «шаг» (СЃ помощью элементарных алгебраических преобразований) приводятся Рє простейшим. Здесь строится «лесенка сложности» заданий, РІ С…РѕРґРµ выполнения которых закрепляется решение простейших уравнений Рё неравенств.

Например, тригонометрические уравнения здесь представлены следующими задачами. (Пояснение. Нумерация дана как в учебном пособии.)

Далее (В§ 3) рассматривается применение РїСЂРё решении тригонометрических, показательных Рё логарифмических уравнений (неравенств) формул тождественных преобразований выражений. Р’ теоретической части параграфа обсуждается РІРѕРїСЂРѕСЃ Рѕ возможном расширении или сужении области определения выражения РІ С…РѕРґРµ его тождественного преобразования. Даются примеры преобразований, приводящих Рє потере корней уравнения (неравенства).

Приведем пример, где учащимся показывается, какое преобразование нужно выполнить и как записать преобразованное выражение так, чтобы в ходе решения не потерять корни уравнения.

Р’ В§ 3 содержится более 100 уравнений Рё неравенств, легко сводящихся Рє простейшим РІ результате тождественных преобразований выражений, входящих РІ уравнение (неравенство). Материал этого параграфа ориентирован таким образом, чтобы обеспечить обучающую функцию. Р’ этой СЃРІСЏР·Рё задания разбиты РїРѕ содержательно-смысловым блокам. Выделены три тематических блока: показательные уравнения (неравенства), логарифмические уравнения (неравенства) Рё тригонометрические уравнения (неравенства). Каждый РёР· названных блоков имеет СЃРІРѕСЋ структуру. Например, РІ блоке, содержащем логарифмические уравнения, выделены следующие содержательно-смысловые части: применение РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРіРѕ логарифмического тождества, применение формул логарифма произведения или частного, применение формул логарифма степени. Р’ соответствии СЃ этим предлагается такая система уравнений.

В §§ 4, 5 представлены известные из основной школы методы решения уравнений: сведение исходного уравнения (с помощью замены) к квадратному и разложение на множители. В теоретической части этих параграфов приводятся возможные образцы записи решений; вводятся алгоритмические предписания, в которых реализуется данный метод решения.

Поскольку в программе по математике и в практике преподавания меньше внимания уделяется решению неравенств, то в теоретической части этих параграфов сделан больший акцент на рассмотрение различных ситуаций, возникающих при решении неравенств. Так, например, показывается, что исходное неравенство может быть равносильно не только неравенству, но и системе неравенств, или совокупности неравенств.

Например, решим неравенство

Заметим, что 150 уравнений и неравенств, представленных в этих параграфах для самостоятельного решения, предполагают прямое применение указанных методов, вырабатывая на этом этапе обучения стереотип решения.

Р’ главе 2 рассматриваются нестандартные методы решения уравнений Рё неравенств, основанные РЅР° использовании свойств функций. Здесь предложены РґРІР° параграфа: В§ 1. Ограниченность; В§ 2. Монотонность. Заданиям для самостоятельного решения предпослан разъяснительный текст, РІ котором раскрывается сущность указанного метода, показывается образец рассуждений, РІ которых для нахождения корней уравнения (неравенства) используется свойство функции. Приведем фрагмент объяснения РёР· В§ 2.

В§ 2. Монотонность

Рассмотрим задание: найти положительные корни уравнения

2^x = – x² + 3.

Как Рё Рє уравнениям РёР· предыдущего параграфа, Рє этому уравнению нельзя применить стандартные приемы решения. Однако РѕРґРёРЅ корень этого уравнения легко угадывается (x = 1). Если посмотреть РЅР° СЌСЃРєРёР· графиков функций y = 2^x Рё y = – x² + 3, то можно предположить, что РЅР° промежутке [0; Р§) найденное решение единственное. Действительно, РЅР° этом промежутке «получилась» единственная точка пересечения графиков функций (СЃРј. СЂРёСЃСѓРЅРѕРє).

РќРѕ нельзя считать задание выполненным, если РЅРµ обосновать, что РґСЂСѓРіРёС… положительных корней уравнение РЅРµ имеет. Для доказательства заметим, что функция y = 2^x возрастает, Р° функция y = – x² + 3 убывает РЅР° промежутке [0; Р§), Р° значит каждое СЃРІРѕРµ значение РѕРЅРё принимают СЂРѕРІРЅРѕ РѕРґРёРЅ раз. Таким образом, «увиденный» нами корень x = 1 является единственным РЅР° заданном промежутке.

Рассмотрим неравенство

Областью определения данного неравенства является множество неотрицательных чисел. Очевидно, что на этом промежутке произведение принимает значение, равное 1, при x = 9. Действительно,

Функции являются монотонно возрастающими, следовательно при x > 9 их значения будут больше, чем число 1, а значит и произведение также окажется большим единицы. Эти рассуждения приводят нас к заключению, что решением исходного неравенства будет промежуток [9; Ґ).

При решении этих двух заданий нами применялось свойство монотонности.

В главе 3 приведены материалы для подготовки учащихся к экзаменам – выпускному из школы и вступительному в вуз. Здесь собраны интересные и поучительные уравнения и неравенства, предлагавшиеся ранее на выпускных экзаменах за курс общеобразовательной школы и на вступительных экзаменах в педагогические и технические вузы. Задания этой главы распределены по уровню сложности, но выбор метода решения предстоит сделать ученику на основе анализа исходного уравнения или неравенства. Чтобы показать школьникам, какие наблюдения и рассуждения помогают выбрать рациональный метод решения, в начале параграфа обсуждаются подходы к решению нескольких уравнений и неравенств. Приведем пример.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. при всех x, кроме так как Значит, исходное неравенство равносильно системе

Неравенству x² + 2x Р€ 0 удовлетворяют значения промежутка [– 2; 0]. Остается исключить РёР· него число РІРёРґР° Таким числом является РїСЂРё n = – 1 число

Эта глава содержит около 250 уравнений и неравенств, снабженных ответами, что должно помочь учащимся в проверке выполненной ими самостоятельной работы.

По вопросу приобретения данного пособия обращайтесь в издательство «Интеллект-центр».

Телефон (095) 158-66-05, или РїРѕ адресу:
129515, РњРѕСЃРєРІР°, Р°/СЏ 70, РњРёРЅРґСЋРєСѓ Рњ.Р‘.