Примеры решения задач раздела 4
Задания четвертого раздела, в основном, являются стандартными для школьного курса математики, и оформление их решений не требует подробных пояснений
ТРИГОНОМЕТРИЯ
1. Вычислите .
Имеем: 
9. Укажите наименьшее положительное число x, при котором sinx = sin215° – 2 sin215°cos215° + cos215°.
Имеем: 
Наименьший положительный
корень уравнения 
Ответ: 30.
15. Решите уравнение cos2x + 6sinx – 6 = 0.
Имеем: cos2x + 6sinx – 6 = 0, 1 – sin2x + 6sinx – 6 = 0, sin2x – 6sinx + 5 = 0.
Обозначим sinx = z и решим уравнение z2 – 6z + 5 = 0: z1 = 6 или z2 = 1.
Возвращаясь к переменной x, получим sinx = 6 или sinx = 1. Поскольку наибольшее значение sinx равно 1, уравнение sinx = 6 корней не имеет. Корни второго уравнения: x = p/2 + 2kp (k О Z).
Ответ: p/2 + 2kp (k О Z).
34. Найдите все решения
уравнения 
принадлежащие отрезку 
Имеем:
(поскольку 
).
Промежутку 
принадлежат два решения этого
уравнения: 
.
Ответ: 
39. Найдите все решения
уравнения 
, принадлежащие отрезку
Имеем: .
Из условия равенства дробей
следует: 
5cosx = 5sinx, cosx = sinx.
Нули косинуса не являются
корнями последнего уравнения, значит, его можно
разделить на cosx: tgx =
1, 
При этих значениях x cosx – 7sinx № 0.
Ответ:
Комментарий
1. В процессе решения уравнения нам пришлось разделить обе его части на выражение с переменной. При делении на выражение с переменной, вообще говоря, может произойти потеря корней, но только в том случае, когда множество корней уравнения и множество нулей делителя имеют общие элементы. В противном случае после деления получается равносильное уравнение. В нашем случае при равенстве cosx нулю sinx в нуль не обращается, т.е. нули косинуса не являются корнями уравнения, и, разделив его на cosx, мы получаем равносильное уравнение.
2. Можно было получить ответ, использовав условие равенства синуса и косинуса – поскольку они являются соответственно ординатой и абсциссой точки тригонометрической окружности, то равенство их достигается только на биссектрисе I и III координатных углов.
49. Найдите абсциссы общих точек графиков функций y = 3sin2x и y = 4cosx.
Имеем:
3sin2x = 4cosx, 6sinxcosx – 4cosx = 0,
6cosx(sinx – 2/3) = 0,
1) cosx = 0 или 2) sinx – 2/3 = 0. 1) x = np;
2) sinx = 2/3, x = ( – 1)narcsin(2/3) + np (n О Z).
Ответ: pp; ( – 1)narcsin(2/3) + np (n О Z).
СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ
51. Вычислите log21627 + log3616 + log63.
Имеем:
log21627 + log3616 + log63 = log63 + log64 + log63 = log6(3•4•3) = log636 = 2.
Ответ: 2.
59. Решите уравнение 22 – x – 2x – 1 = 1.
Решение. 22 – x – 2x – 1 = 1, 2Ч21 – x – 2x – 1 = 1.
Обозначим 21 – x = z,
тогда
Имеем: 1) 21 – x = – 1 – нет корней, 2) 21 – x = 1, 1 – x = 0, x = 1.
Ответ: 1.
82. Решите неравенство 
Поскольку показательная функция с основанием 3 возрастает, имеем: 3x < 2x2 – 2, 2x2 – 3x – 2 > 0, x < – 0,5 или x > 2.
Ответ: 
86. Решите неравенство 
Решение: 
При всех значениях x
первый сомножитель положителен, значит 
Так как показательная функция
с основанием 
убывает, имеем: 2x + 2 < 2, x < 0.
Ответ: x < 0.
88. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 3x + 32-x > 10.
Решение. Оба слагаемых в левой части неравенства положительны, причем при любом целом отрицательном x 32-x > 10, значит, любое целое отрицательное значение x является решением данного неравенства.
Ответ: Не существует наименьшего целого решения неравенства.
Примечание. В записи условия допущена опечатка – должно быть 3x + 32-x < 10, и решение выглядит иначе:
Обозначим 3x буквой z, тогда 
1 < z < 9, 1 < 3x <
9. Поскольку показательная
функция с основанием 3 является возрастающей, имеем: 0 < x < 2. 1 –
наименьшее (и единственное) целое число,
удовлетворяющее данному неравенству.
91. Решите уравнение 
Решение:
По определению логарифма x2 – 5x + 6 = 2. Далее имеем: x2 – 5x + 4 = 0, x1 = 1,x2=4.
Ответ: {1;4}.
94. Укажите все натуральные
решения неравенства 
Решение.
Логарифмическая функция с
основанием 
убывает. С учетом ее области
определения имеем:
Натуральными решениями этих неравенств являются числа 1 и 5.
Ответ: 1 и 5.
106. Укажите положительный
корень уравнения 
Решение.
Так как функция y = 4x возрастающая, имеем 3x
+ 1 = 0 или 
Единственный положительный
корень – число 
Ответ:
121. Решите неравенство 
Решение
Найдем нули числителя и
знаменателя и определим знаки дроби 
на
соответствующих интервалах: 
Ответ: 
Комментарий. Можно было решать системы: или или
Так как показательная функция
с основанием 3 возрастает, имеем: 
Ответ: 
126. Решите неравенство 
Найдем нули числителя и
знаменателя дроби 
Учитывая убывание функции y = log 1/4 x и
ее область определения, найдем знаки дроби 
на соответствующих интервалах.
Ответ: 
149. Решите систему уравнений 
Решение. По
определению логарифма имеем: 
Ответ: x = 8, y = 1.
152. Решите систему уравнений
Ответ: Система имеет бесконечно много решений – это координаты точек прямой y = 2x + 2, абсциссы которых больше – 2.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
165. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x – 3x2 в точке с абсциссой x0 = 2.
1. Найдем y0 – значение функции y в точке x0 = 2:
y0 = 2 – 3•22 = – 10.
2. Найдем производную данной функции:
y' = (x – 3x2)' = 1 – 6x.
3. Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в точке x0 = 2):
k = y '(x0) = 1 – 6•2 = – 11.
4. Напишем уравнение касательной:
y – ( – 10) = – 11(x – 2), y + 11x = 12.
Ответ: y + 11x = 12.
169. Выясните, является ли прямая y = 12x – 10 касательной к графику функции y = 4x3.
Решение. Найдем, при каких значениях x угловой коэффициент касательной к графику данной функции равен 12.
Найдем производную: y ' = (4x3)' = 12x2, и решим уравнение 12x2 = 12, x1 = – 1, x2 = 1.
Чтобы быть касательной, данная прямая должна касаться графика данной функции в точке с абсциссой – 1 или 1, а значит, хотя бы одно из данных чисел – корень уравнения 4x3 = 12x – 10. Подставляя их в данное равенство, получаем соответственно – 4 = – 12 – 10 и 4 = 12 – 10. Ни – 1, ни 1 не являются корнями, значит данная прямая не является касательной.
Ответ: Прямая y = 12x – 10 не является касательной к графику функции y = 4x3.
