В. Галкин, В. Панферов,
И. Сергеев,
В. Тарасов, А. Часовских, Москва
Заочный тур, химический факультет, № 5 (12).
(Эта задача предлагалась в одном из вариантов на факультете ВМК в 1995 году. Автор – В. Галкин.)
Решите неравенство
Решение. В части области определения имеем
Поэтому logcos x cos2 x = 2, и исходное неравенство эквивалентно системе неравенств
Ответ:
№ 7 (12).
Решение. Так как sin 3x = 3sin x – 4sin3 x, cos 3x = 4cos3 x – 3cos x,
то имеем уравнение
Пусть sin x + cos x = y. Тогда
Но sin3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 – sin x cos x). Значит,
(В этом уравнении для решения
применяется прием, ставший стандартным: 
и уравнение сводится к смешанной алгебраической
системе. Замечание редакции.)
№ 11 (12). Решите систему уравнений
Решение. Вычтем и сложим
почленно первые два уравнения 
Из третьего уравнения получим следствие
(2x + 1)(y + 3) = 1, – (sin z + cos z)(cos z – sin z) = 1, cos 2z = – 1, 1 – 2sin2 z = – 1, sin z = д 1, cos z = 0.
Пусть сначала sin z = 1, cos z = 0. Тогда x= – 1 и 2x+1=–1<0, что невозможно из третьего уравнения.
Пусть теперь sin z = – 1, cos z = 0. Тогда
Но из условия 0 z > – 1. Значит, допускаются лишь n = 1, 2, ... .
Ответ: 
ВКНОМ, № 2 (5).
Решение. Разделим обе части
уравнения на 
введем вспомогательный
аргумент 
и получим уравнение
Ответ: 
где 
(Ответ может быть записан,
например, и так: 
Примечание редактора.)
Химический факультет, май, 1999, № 3 (7).
Найти все значения x из отрезка [0; p], удовлетворяющие системе уравнений
Решение. Объявим в системе неизвестными sin 3x и cos 4x и перепишем ее в виде
или
или
Ответ: .
ВКНОМ, май, № 1 (5).
Указание. 
Ответ: 
Химический факультет и ВКНОМ, июль, № 2 (7). = 0.
Указание. Важно не забыть об области определения.
Ответ: 
Заочный тур, ВКНОМ, № 2 (5).
sin5 x + cos5 x = – 1.
Решение. Если 
или cos x = – 1 _ x = p + 2pn, то уравнение очевидно
удовлетворяется. Покажем, что других решений нет.
Если sin x = 1 или cos x = 1, то исходное уравнение очевидно не удовлетворяется. Поэтому исключим этот случай.
Равенства sin x = 0 или cos x = 0 тоже исключим, так как они уже по существу рассмотрены выше.
В остальных же случаях имеем оценки
Однако из исходного уравнения
следует 
Получено очевидное противоречие: 1 < 1.
Ответ: 
Комментарий. Выше доказано,
что 
Но легко проверить, что и 
Действительно, имеют место, например, преобразования
Теперь понятно, что в исходном уравнении пятые степени можно заменить любыми нечетными положительными степенями, а последние – первыми степенями:
Степени могут быть разными натуральными. Проверьте, например, что для натуральных n и k
Задачи такого рода при различных натуральных n и k часто встречаются на устных экзаменах.
Биологический факультет и факультет фундаментальной медицины, июль, 1997, № 2 (6).
Решить уравнение sin 2x – sin 4x = (cos 2x + 1)cos 3x.
Решение. 2sin (– x)cos 3x = (1 – 2sin2 x + 1)cos 3x.
1) cos 3x = 0; 2) sin2 x – sin x – 1 = 0,
Ответ: 
Июль, 1998, № 3 (5).
Решение. Преобразуем
исходное уравнение к виду 
Во-первых, при sin x l 0 получаем
Во-вторых, при sin x < 0 находим
Последнее уравнение при sin x < 0 имеет решения вида
Ответ: 
Июль, 1998, № 5 (5).
Найти все решения системы
Решение. Преобразуем первое неравенство к виду
откуда получаем систему
уравнений 
Таким образом, имеем 
Подставляя полученные значения для t, cos 5x и cos 10x во второе неравенство, получаем
при 
т. е. 
– верно;
при 
– неверно.
Таким образом, исходная система эквивалентна следующей
Ответ: 
Июль, 1999, № 1 (6).
8cos 6x – 12sin 3x = 3.
Указание. Учесть, что cos 6x = 1 – 2sin2 3x.
Ответ: 
Факультет почвоведения, май, 1997, № 2 (6).
Решить уравнение 2sin 2x + 2sin x – 3 = 6cos x.
Решение. 2sin x (2cos x + 1) – 3(1 + 2cos 2x) = 0.
1) 2cos x + 1 = 0; 2) 2sin x – 3 = 0, ѕ.
.
Июль, № 3 (6).
Решение. 1) 
a) k = 2n – годится; b) k = 2n + 1 – не годится.
2) sin x l 0. а) sin x = 0; б) 
a) k = 2n – годится; b) k = 2n + 1 – не годится.
Ответ: 
Заочный тур.
Найти 
Решение. В зависимости от a из I-й или III-й четверти
Теперь по формуле синуса разности имеем
Ответ: .
Май, 1998, № 4 (6).
ctg x + ctg 2x = – tg 3x.
Решение.
Июль, № 2 (6).
Найти 
если
известно, что 
и что 
Установить
без помощи таблиц и калькулятора, какое из
чисел больше 
Решение. Так как tg a > 0, то 
Поэтому
Далее 
так как 
Ответ: 
Заочный тур, № 5 (10).
Найдите 
если
известно, что 
и 
Установите без помощи
таблиц и калькулятора, какое из чисел больше
Решение. Так как 
и значит, 
Поэтому
Ответ: 
№ 6 (10).
tg 5x = ctg x – ctg 6x.
Решение.
Имеем 
Необходимо учесть ОДЗ
т. е. выколоть точки 
и получить
ответ: 
№ 7 (10).
Найдите все решения уравнения
удовлетворяющие
неравенству – 2p < x < 2p.
Решение. Перейдем к равносильной системе
Здесь учтено, что неравенство sin x l x выполнено только при x m 0. Осталось вспомнить, что x Э (– 2p; 2p) и получить
ответ: 
Май, 1999, № 1 (6).
Определить, что больше: 
Решение. Имеем последовательно
Первое число равно 
а второе 
Поскольку p > 3, то
ответ: второе число больше.
№ 2 (6).
Решение. Уравнение равносильно системе
Ответ: 
Июль, № 2 (7).
cos 2x = sin x.
Решение. 
Ответ: 
Комментарий. Легко
заметить, что при n = 3m и n = 3m + 1
получим привычную запись решения уравнения 
– привычные
записи решения уравнения sin x + 1 = 0:
