геометрия

Диктанты по стереометрии

10-11 класс

Крупноблочное изучение учебного материала по геометрии является одним из методов интенсивного обучения математике. После изучения каждой темы на двухчасовом уроке-лекции проводится обязательный опрос всех учащихся по теоретическому материалу.

Одним из элементов опроса является математический диктант. Преподаватель может менять диктанты, добавляя вопросы тренировочного характера, исключая излишне легкие.

Предлагаемые диктанты для 10–11-х классов предназначены для учителя, работающего по учебнику А.В. Погорелова «Геометрия, 7–11».

Они заменяют «разминку» в начале урока серьезной работой общего характера.

Диктант № 1. Основные понятия стереометрии

1. Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве? Что означает термин «стереометрия»?
2. Приведите основные понятия стереометрии, как они обозначаются? (Назовите пять правильных многогранников.)
3. Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости? (Приведите основные понятия стереометрии. Как они обозначаются?)

Диктант № 2. Аксиомы стереометрии

1. Верны ли в стереометрии аксиомы планиметрии? (Верны ли в стереометрии теоремы планиметрии?)
2. Сформулируйте аксиому С₁ (аксиому С₂).
3. Сформулируйте аксиому С₃. (Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?)
4. Сколько плоскостей можно провести через две точки? (Сколько плоскостей проходит через одну прямую?)
5. Сколько прямых в пространстве можно провести через три точки, если каждая из них проходит через две точки? (Сколько плоскостей проходит через одну точку?)
6. Изобразите пересечение прямой и плоскости (две пересекающиеся плоскости).
7. Могут ли прямая и плоскость иметь лишь две общие точки? (Из точки выходят три луча. Сколько можно провести плоскостей, чтобы по крайней мере два из них принадлежали плоскости?)
8. Как может быть расположена прямая относительно плоскости? (Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости?)

Диктант № 3. Параллельность прямых и плоскостей

1. Какие две прямые в пространстве называются скрещивающимися? (Какие две прямые в пространстве называются параллельными?)
2. Сформулируйте условие теоремы 16.1 (заключение теоремы 16.1).
3. Сформулируйте заключение теоремы 16.2 (условие теоремы 16.2).
4. Дан куб A...D₁. Найдите линию пересечения граней AA₁ и B₁B и BB₁C₁C (BB₁C₁C и DD₁C₁C).
5. Дан куб A...D₁. Запишите четыре пары скрещивающихся прямых (четыре пары пересекающихся прямых).
6. Дан куб A...D₁. Запишите четыре пары параллельных прямых. (Какие две прямые в пространстве называются непараллельными?)

Диктант № 4. Параллельность прямых и плоскостей

1. Какие прямая и плоскость называются параллельными? (Какие плоскости называются параллельными?)
2. Сформулируйте условие теоремы 16.3 (заключение теоремы 16.3).
3. Какие возможны случаи взаимного расположения двух плоскостей (прямой и плоскости)?
4. Используя признак параллельности прямой и плоскости в кубе A...D₁, укажите две пары параллельных прямой и плоскости (не используя признак параллельности плоскостей, в кубе A...D₁ укажите две пары параллельных плоскостей).
5. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости (признак параллельности плоскостей).
6. Сформулируйте заключение теоремы 16.4 (условие теоремы 16.4).
7. Используя признак параллельности плоскостей в кубе A...D₁ укажите две пары параллельных плоскостей (две пары параллельных прямой и плоскости, используя признак параллельности прямой и плоскости).
8. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно? (Прямые a и b параллельны. Через прямую a проведите плоскость, параллельную прямой b. Сколько таких плоскостей можно провести?) 

Диктант № 5. Параллельность прямых и плоскостей

1. Сформулируйте условие теоремы 16.5 (заключение теоремы 16.5).
2. Сформулируйте первое свойство параллельных плоскостей (второе свойство).
3. Точка K не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Как расположена прямая CD по отношению к плоскости ABK (могут ли скрещивающиеся прямые a и b быть параллельны прямой C?)
4. Можно ли две пересекающиеся плоскости пересечь плоскостью так, чтобы линии пересечения были параллельны? (Прямая d, не лежащая в плоскости ABC, параллельна основанию AD трапеции ABCD. Выясните взаимное расположения прямых d и CD.)
5. Используя рисунок куба, заполните таблицу, расставив знаки Ж, C, ф.

ABC	AB	A1B1	CC1	D1C1
ABB1
BCC1
	Вариант 1		Вариант 2

Диктант № 6. Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Сформулируйте условие теоремы 17.1 (заключение теоремы 17.1).
2. Сформулируйте заключение теоремы 17.2 (условие теоремы 17.2).
3. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости. (Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?)
4. Прямая a B b, прямая b B c. Что можно сказать о взаимном расположении прямых a и c? (Прямая a перпендикулярна прямым b и c. Что можно сказать о взаимном расположении прямых b и c?)
5. Сколько перпендикулярных прямых можно провести через любую точку прямой в пространстве? (Сколько плоскостей, перпендикулярных данной прямой, можно провести через данную точку?)
6. Сформулируйте признаки перпендикулярности прямой и плоскости. (Сколько прямых, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную точку?)

Диктант № 7. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1. Сформулируйте условие теоремы 17.3 (заключение теоремы 17.3).
2. Сформулируйте заключение теоремы 17.4 (условие теоремы 17.4).
3. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости. (Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?)
4. Сколько прямых, перпендикулярных плоскости, можно провести через любую точку плоскости? (Что можно сказать о нескольких перпендикулярах к одной плоскости?)
5. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку вне данной прямой? (Сколько прямых, перпендикулярных плоскости, можно провести через точку, не лежащую в данной плоскости?)
6. Что можно сказать о прямой, параллельной перпендикуляру к плоскости? (Сколько плоскостей, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку вне данной прямой?)
7. Постройте прямую, перпендикулярную плоскости. (Постройте через точку данной прямой перпендикулярную ей плоскость.)
8. Постройте в пространстве три проходящие через одну точку взаимно перпендикулярные прямые. (Постройте через точку плоскости прямую, перпендикулярную плоскости.)

Диктант № 8. Перпендикуляр и наклонная

1. Сформулируйте условие теоремы о трех перпендикулярах (заключение теоремы о трех перпендикулярах).
2. Дайте определение перпендикуляра к плоскости (определение наклонной к плоскости).
3. Дайте определение проекции наклонной (перпендикулярных плоскостей).
4. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскости. (Что называется основанием наклонной?)
5. Что называется расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости? (Что называется основанием перпендикуляра?)
6. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями? (Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.)
7. Покажите на рисунке угол между проекцией наклонной и прямой, проведенной через основание наклонной (угол между наклонной и прямой, проведенной через основание наклонной).
8. Сделайте рисунок к теореме о трех перпендикулярах (к обратной теореме о трех перпендикулярах).

Диктант № 9. Углы между прямыми и плоскостями

1. Чему равен угол между прямой и параллельной ей плоскостью? (Чему равен угол между прямой и пересекающей ее плоскостью?)
2. Чему равен угол между пересекающимися плоскостями? (Чему равен угол между скрещивающимися прямыми?)
3. Что называется углом между скрещивающимися прямыми? (Что называется углом между двумя прямыми?)
4. Чему равен угол между параллельными плоскостями? (Чему равен угол между параллельными прямыми?)
5. Что называется углом между прямой и плоскостью? (Чему равен угол между двумя пересекающимися прямыми?)
6. Что называется углом между плоскостями? (Чему равен угол между перпендикулярными прямыми?)
7. В кубе A...D₁ покажите угол между гранью BB₁C₁ и диагональю A₁C (между плоскостью ABC и прямой BD₁).
8. В кубе A...D₁ покажите угол между пересекающимися плоскостями (между скрещивающимися прямыми).
9. Фигура площадью 8 см² лежит в плоскости, наклонной к плоскости проекции под углом 45°. Чему равна площадь проекции этой фигуры на эту плоскость? (Фигура площадь 12 см² лежит в плоскости, наклоненной к плоскости проекции под углом 30°. Чему равна площадь проекции этой фигуры на эту плоскость?)

 Диктант № 10. Векторы в пространстве

1. Что называется вектором в пространстве? (Что такое модуль вектора?)
2. Какие векторы называются противоположно направленными (коллинеарными)?
3. Что называется суммой векторов (Что называется скалярным произведением вектора и вектора ?)
4. Как записать в координатах условие равенства векторов ? (Как определяется произведение вектора на число l?)
5. Какие векторы называются равными? (Запишите условие перпендикулярности векторов.)
6. Что такое абсолютная величина вектора? (Каково направление нулевого вектора?)
7. Найдите сумму вектора и вектора Найдите произведение числа – 3 на вектор
8. Каковы координаты вектора с началом в точке (3; 2; – 5) и концом в точке (– 5; 2; 3)? Найдите координаты вектора, противоположного вектору
9. Найдите скалярное произведение вектора и вектора (вектора и вектора ).

Диктант № 1. Повторение

1. Дайте определение угла между прямыми. (Дайте определение угла между прямой и плоскостью.)
2. Выполните чертеж прямой, параллельной плоскости (двум параллельным плоскостям).
3. Дайте определение прямой, перпендикулярной к плоскости. (Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.)
4. Постройте угол между прямой и плоскостью. (Постройте перпендикулярные плоскости.)
5. Дайте определение параллельных плоскостей. (Дайте определение прямой, параллельной плоскости.)

Диктант № 2. Двугранные углы. Многогранные углы. Многогранники

1. Что такое двугранный угол (трехгранный угол)?
2. Какими фигурами являются грани трехгранных углов (грани двугранных углов)?
3. Постройте трехгранный угол. Укажите ребра, грани. Запишите обозначение трехгранного угла. (Постройте линейный угол двугранного угла. Запишите обозначение двугранного угла и линейного угла двугранного угла.)
4. Какими фигурами являются ребра трехгранных углов (двугранных углов)?
5. Что такое многогранник? (Какой многогранник называется выпуклым?)
6. Начертите куб. Сколько у куба ребер? Обозначьте ребра, выходящие из одной вершины. (Начертите куб. Сколько у куба вершин? Обозначьте вершины, принадлежащие одной грани.)

Диктант № 3. Призма

1. Что называется основанием призмы (ребром призмы)?
2. Какая призма называется прямой? Ответ поясните рисунком. (Какая призма называется наклонной? Ответ поясните рисунком.)
3. Сколько вершин, ребре имеет шестиугольная призма? (Призма имеет 20 граней. Какой многоугольник лежит в ее основании? Сколько вершин и ребер имеет эта призма?)
4. Что является боковой гранью пятиугольной призмы? (Какими многоугольниками являются боковые грани правильной призмы?)
5. Сколько диагоналей у треугольной призмы (четырехугольной призмы)?
6. Сравните длину бокового ребра прямой призмы L с высотой H. (Сравните длину бокового ребра наклонной призмы L с высотой H.)
7. Сколько диагональных сечений у четырехугольной призмы? (Какими многоугольниками являются диагональные сечения прямой призмы?)
8. Что лежит в основании четырехугольной призмы? (Что является основанием правильной треугольной призмы?)
9. Каким свойством обладают боковые ребра призмы? (Каким свойством обладают основания призмы?)
10. Запишите формулу площади боковой поверхности прямой призмы. (Можно ли использовать формулу площади боковой поверхности призмы для нахождения расхода плиток, требуемых для облицовки стен операционной комнаты?)

Диктант № 4. Параллелепипед

1. Какой параллелепипед называется прямоугольным? Ответ поясните рисунком. (В каком случае параллелепипед называется прямым? Ответ поясните рисунком.)
2. Сколько диагоналей у параллелепипеда? (Что можно сказать о длинах диагоналей прямого параллелепипеда?)
3. Чему равны диагонали куба с диагоналями боковых граней b? (Чему равны диагонали куба с ребром d?)
4. Сколько плоскостей симметрии у куба? (Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда, если два линейных размера равны?)
5. Ребро куба равно d. Вычислите площадь диагонального сечения. (Объем куба равен 64 см³. Вычислите его поверхность.)
6. Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда? (Что является центром симметрии параллелепипеда?)
7. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 6, 3 и 2 см. (В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины, 5, 5 и 3 см. Вычислите сумму длин всех ребер.)
8. Поверхность куба 24 см². Вычислите его объем (измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см). (Вычислите диагональ параллелепипеда.)

Диктант № 5. Пирамида

1. Что такое пирамида? Ответ поясните рисунком. (Что такое усеченная пирамида? Ответ поясните рисунком.)
2. Какая пирамида называется правильной? (Перечислите известные вам виды правильных многогранников.)
3. Опишите тетраэдр (октаэдр).
4. Что такое ось правильной пирамиды? (Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину?)
5. В правильной треугольной пирамиде апофема равна 10 см и наклонена к основанию под углом 60°. Вычислите боковую поверхность пирамиды. (У правильной треугольной пирамиды все ребра равны по 4 см. Вычислите поверхность пирамиды.)
6. Запишите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды. (Что принимают за площадь полной поверхности тетраэдра?)
7. Площадь основания пирамиды 100 см². Вычислите площадь сечения пирамиды, проведенного через середину высоты. (Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной a. Вычислите боковую поверхность пирамиды.)
8. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида? (Какой фигурой является диагональное сечение усеченной пирамиды?)
9. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно одной из сторон основания. Можно ли принять это ребро за высоту пирамиды? Ответ поясните рисунком и обоснуйте. (Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из ее боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Является ли данная пирамида правильной? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.)
10. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, боковые грани с основанием образуют угол 60°. Вычислите боковую поверхность пирамиды. (В основании пирамиды прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое ребро равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.)

Диктант № 6. Цилиндр. Вписанная и описанная призмы

1. Что такое цилиндр? (Дайте определение призмы, вписанной в цилиндр.)
2. Дайте определение описанной около цилиндра призмы. (Дайте определение прямого цилиндра.)
3. Изобразите вписанную в цилиндр призму. Укажите высоту и радиус цилиндра. (Изобразите описанную около цилиндра призму. Укажите образующую и ось цилиндра.)
4. Высота цилиндра равна 10 см, а радиус 5 см. Плоскость пересекает цилиндр параллельно оси и удалена от нее на 4 см. Вычислите площадь сечения. (Высота равностороннего цилиндра равна 8 см. Вычислите боковую поверхность цилиндра.)
5. Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. Вычислите боковую поверхность цилиндра. (Боковая поверхность равностороннего цилиндра 20 см². Вычислите площадь его основания.)
6. Постройте описанную призму. Укажите образующую цилиндра, через которую проходит касательная плоскость цилиндра. (Постройте вписанную призму. Укажите образующую цилиндра, являющуюся высотой призмы.)

Диктант № 7. Тела вращения

1. Что такое сфера? (Что такое шар?)
2. Что такое радиус шара? (Что такое большой круг?)
3. Какая прямая называется касательной к шару? (Какая плоскость называется касательной к шару?)
4. Что называется поверхностью тела? (Что называется геометрическим телом?)
5. В каком случае сфера называется вписанной в многогранник? (В каком случае многогранник называется вписанным в сферу?)
6. Как называется отрезок, который получается в результате пересечения двух больших кругов шара? (Сколько общих точек имеет прямая шаровой поверхностью?)
7. Какие точки шара называются диаметрально противоположными? (Какая точка называется внутренней?)
8. Какими свойствами обладают грани многогранника, вписанного в сферу? (Около правильной призмы описали сферу. Где будет лежать ее центр?)
9. Два различных сечения шара пересекаются. Как называется линия их пересечения? (Определите формуле тела, если его проекциями в горизонтальной и вертикальной плоскости являются круги.)
10. Какая фигура называется областью? (Что такое замкнутая область?
11. В правильную призму вписали сферу. Где будет лежать ее центр? (Сколько диаметром можно провести через точку, произвольно взятую внутри шара?)
12. В пространстве множество точек задано уравнением x² + y² + z² = 9. На каком расстоянии от начала координат находятся эти точки? (Запишите множество точек пространства, которые не принадлежат шару с центром в начале координат и радиусом 3.)
13. Запишите уравнение шара с центром в начале координат и радиусом 2 см (радиусом 5 см).