В школьном курсе математики решение текстовых задач считается одним из самых сложных для восприятия и усвоения учащимися разделов. С нашей точки зрения это связано с неразработанностью аналитического аппарата, который бы позволял рассматривать любую текстовую задачу как систему1, в независимости от того, является ли она задачей на движение, на работу, на смеси или сплавы, на проценты и т. д.
Итак, для того, чтобы рассматривать задачу как систему, нам необходимо определить:
– элементы задачи;
– характер взаимосвязей между элементами.
Первый набор элементов, который необходимо определить в задаче как системе – это участники контекста задачи (машина и велосипед, поезда, амфибии и самолеты; рабочие и землеройки, станки и роботы; сплавы цинка и меди, раствор соли и спирта и т. д.)
Действие, производимое участником или с участником, в свою очередь также является системой. Эти действия определяются следующими элементами, которые называются компонентами:
– скорость V, время t, путь S – движения;
– производительность T, время t, объем работы V – работы;
– объем смеси V0, объем вещества в смеси Vв, объемная концентрация вещества в смеси cв, процентная, объемная концентрация вещества в смеси pв% – смеси, сплава, раствора... ;
– и т. д.
По условиям задачи происходят различные изменения в значениях компонентов участников или накладываются на них какие-либо ограничения: увеличилась или уменьшилась скорость движения, известно время до встречи; вначале работали вместе, затем увеличилась производительность труда и т. д. Каждое такое изменение характеризует свою систему, состоящую из участников и соответствующих значений компонент. Назовем эти системы состояниями.
Тогда общую систему задачи можно представить в виде:
Структура системы определяется характером взаимосвязи между элементами. Таким образом, для полного раскрытия системы задачи нам необходимо определить взаимосвязи:
1. Между компонентами каждого участника в каждом состоянии.
Назовем их вертикальными взаимосвязями. Почему именно так, будет видно из ниже рассматриваемых задач.
2. Между компонентами участников в каждом состоянии.
Назовем их горизонтальными взаимосвязями или уравнивающими.
3. Между компонентами каждого участника в различных состояниях.
4. Между компонентами участников в различных состояниях.
Необходимость поиска взаимосвязи между компонентами участников в каждом состоянии требует ввести еще один элемент в систему задачи. Назовем его взаимосвязь (или общее).
Теперь наша таблица системы задачи будет выглядеть следующим образом:
В зависимости от типа задачи таблица, описывающая ее систему, примет соответствующий вид. Например, для задачи на движение:
Движение каждого участника описывает три компоненты. Для того, чтобы найти взаимосвязь между ними, нам необходимо знать значения двух компонент. В традиционном подходе к решению текстовых задач для реализации этого положения вводятся неизвестные величины – x, y и т. д. Мы используем следующий подход. Пусть, например, S21 и S22 (указываем какие-либо из компонент) как будто бы известны и дальше работаем над задачей, исходя из этого.
Рассмотрим применение предлагаемого метода анализа и решения текстовых задач на конкретных примерах.
Задачи на движение2
Задача 1. Между домами Кролика и Лиса существовала прекрасная дорога в 50 км. Как-то так случилось, что они одновременно пошли друг к другу в гости. Они не пошли, а побежали. Через 5 часов, увлеченные воображаемым приятным времяпрепровождением в гостях, они пробежали мимо друг друга, рассеянно сказав: «Привет». Кролик, задумавшись над тем, неуловимо знакомым только что промелькнувшим мимо него, снизил свою скорость на 1 км/ч. Лис, почуяв что-то из того, что ему грезилось, увеличил скорость на 1 км/ч. Каково же было их разочарование, когда они не застали друг друга дома. У Лиса это разочарование наступило на 2 часа позже, чем у Кролика. С какой скоростью двигался Кролик?
Первым шагом анализа системы задачи мы определяем участников движения. Читаем текст задачи.
1. Сколько участников? – Два (Кролик и Лис).
Вторым шагом определяем состояния: сколько их и какие они.
2. Сколько состояний? – Два (до встречи, после встречи).
Третьим шагом изложим в таблице данные, необходимые для дальнейшего анализа системы задачи.
После построения таблицы еще раз читаем текст задачи (четвертый шаг) и заносим в нее данные значения компонентов.
Для удобства вашего восприятия при анализе этой задачи будем переходить от одной таблицы к другой, хотя в обычной ситуации весь анализ производится с помощью одной таблицы.
Для того, чтобы проанализировать первое состояние, нам необходимо ввести значения компонент, которые мы как бы знаем. Пусть это будет скорость кролика – V1. Тогда имеем (в скобках цифрами мы проставляем последовательность наших рассуждений):
(4) и (5) получены из анализа взаимосвязи компонентов каждого участника в различных состояниях и условия задачи. (6) и (7) – из анализа взаимосвязи компонентов участников в различных состояниях. (8) и (9) – из анализа взаимосвязи компонентов каждого участника в состоянии 2. (10) – из условия задачи.
На основании (10) имеем уравнение
решив которое получаем: V1 = 6 км/ч.
Ответ: 6 км/ч.
Можно отметить, что уравнения формируются из взаимосвязей между компонентами участников в состоянии. Поэтому мы и назвали их горизонтальными или уравнивающими.
На учащихся производит большое впечатление, если они понимают, что для анализа системы задачи нет особой разницы в том, какой или какие значения компонентов принять за как бы известные величины. Еще больше их интригует возможность по полностью восстановленной системе задачи составлять свои задачи, переходить от одной задачи к другой.
Рассмотрим теперь задачу на работу, произведя анализ в одной таблице, нумеруя последовательность рассуждений цифрами в скобках.
Задача 2. Два тролля раскопают спрятанные в горе сокровища за 12 дней, работая вместе. Если же они будут работать по принципу: ты сделай половину, а потом я сделаю свою половину, то им потребуется 25 дней. Сколько дней потребуется каждому из них, чтобы в одиночку добраться до сокровищ?
(1) Сколько участников работы? – Два.
(2) Сколько возможных состояний в работе? – Три: а) совместная (параллельная) работа; б) поровну произведенная работа (последовательная работа); в) каждый сам за себя (индивидуальная работа).
(3) Значения величин, которые как будто бы даны T1 и T2.
Из рассуждения (10) с учетом (14) и (15) имеем:
Пусть 
тогда
Таким образом, 
Ответ: 20, 30.
Рассмотрим задачу на сплавы и смеси.
Задача 3. Алиса, будучи в Зазеркалье, нашла две плошки смеси божьего дара с яичницей. Одна из них содержала a% божьего дара, а вторая – b%. В каком отношении Алиса должна взять эти смеси, чтобы при перемешивании получить новую смесь с массовым процентным содержанием божьего дара в g%?
Так как нас будет интересовать божий дар, то мы обозначим его – бд.
1. Сколько участников (сколько смесей участвует в задаче их названия)? – Три: смесь – 1, смесь – 2, новая смесь – 3.
2. Сколько состояний? – Одно.
3. Компоненты значения, которых как бы известны – масса первой m10 и второй m20 смеси, взятые для получения смеси с массовым процентным содержанием божьего дара в g%.
Из (10), (9), (11) имеем:
Мы не будем подробно останавливаться на анализе возможных значений a, b, g, так как это не является целью нашей статьи.
Таким образом, на рассмотренных задачах мы показали, как использовать метод анализа системы задачи, строить уравнения, которые приводят к решению текстовых задач.
Необходимо отметить, что данная методика обучения расширяет возможности учителя по развитию творческого мышления учащихся, позволяет развивать у них целостное и системное понимание математических закономерностей и взаимосвязей.
