Определение среднего значения функции

Обсуждая концепцию математического образования в 12-летней школе [3, с. 13–18], следует уточнить целеполагание одного из основных блоков математического образования – функции. Важным является изучение не столько свойств функций, сколько развитие умений применять функции для описания реальных процессов. Но реальные процессы задаются сложными функциональными зависимостями. Математическое моделирование упрощает зависимости, заменяя одну функцию другой, более простой.

Основная идея введения интеграла – аккумуляция (накопление) информации о функции на отрезке – оказалась незавершенной не только в школьном курсе математики, но и в общем образовании учащихся. Нет возврата к более простой функции, которая порождает такое же значение интеграла, т. е. накапливает такую же информацию на отрезке. Другими словами, нет усреднения заданной функции на отрезке.

В школьных, да и в вузовских учебниках, пропущено очень важное применение определенного интеграла для нахождения среднего значения непрерывной функции на отрезке. Некоторые авторы программ и учебников много говорят о развитии функциональной линии, но ни слова не говорят, как усреднить функцию на промежутке, хотя среднее значение двух величин определяется. Следует сказать больше. Мотивация изучения функциональной линии в общем образовании учащихся оказалась не полностью сформулированной и незавершенной.

Моделирование реальных задач требует усреднения в математических моделях непрерывных функций (в экологии, в метеосводке погодных условий и т. д.), усреднения в компьютерных экспериментах дискретных величин с малым шагом аргумента – что приближается к усреднению непрерывных величин.

Среднее значение функции удобно ввести на примере определения средней скорости движения, как отношения длины всего пройденного пути к величине затраченного времени

Рассмотрим общее определение среднего значения функции.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции y = f(x) (пусть f(x) принимает неотрицательные значения), осью ox и вертикальными прямыми y = a, y = b, равна площади некоторого прямоугольника, построенного на отрезке [a; b]. Высота этого прямоугольника является средним значением функции y = f(x) на отрезке [a; b]. В общем случае она определяется по формуле [2, с. 559]

      (1)

В школьных и вузовских учебниках много внимания уделяется нахождению интегралов. Это необходимое развитие навыков нахождения интегралов, но очевидно, что более важно показать его применения. Из всех учебников и справочников для школы только в справочниках [1, с. 497; 2, с. 368, 369] определяется среднее значение функции на отрезке. Следует отметить, что пропедевтика введения среднего значения функции иногда проводится в задачах следующего типа на вступительных экзаменах в вузы и в учебниках физики.

1. Катер из Нижневартовска в Сургут двигался со скоростью v₁, а в обратном направлении со скоростью v₂. Найдите среднюю скорость катера на всем пути, т. е. из Нижневартовска в Сургут и обратно.

Ответ:  

2. Катер вначале двигался со скоростью v₁ в течение некоторого промежутка времени, а затем в течение такого же промежутка времени со скоростью v₂. Найдите среднюю скорость катера на всем пути.

Ответ:  

3. Первую треть пути между пунктами велосипедист проехал со скоростью v = 5 м/с, затем половину оставшегося времени он ехал со скоростью v = 10 м/с, после чего до конечного пункта он шел с велосипедом со скоростью v = 1 м/с. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.

Ответ: 5,3 м/с.

4. Найдите среднюю скорость тела, если первую четверть времени оно двигалось со скоростью v = 5 м/с, вторую четверть времени – со скоростью v = 10 м/с, оставшуюся часть времени со скоростью v = 15 м/с.

Ответ: 11,25 м/с.

Не каждый учитель видит в этих задачах функции. Для многих это постоянные величины. Читатель наверно согласится, что это требует корректировки.

Рассмотрим другие примеры, приводящие к пониманию важности изучения среднего значения. Например, мы иногда не можем определить значение функции в данный момент времени и вынуждены пользоваться средними значениями функции.

Величина переменного тока в данный момент времени t (мгновенное значение тока) определяется по формуле

i = I₀ sin wt,

где I₀ – максимальное (амплитудное) значение тока, w – частота, – период. Представим себе, что существует прибор, измеряющий мгновенное значение тока i. Стрелка прибора в течение 1 секунды будет совершать 50 колебаний, показывая значения из отрезка [– I₀; I₀]. Зафиксировать информацию практически невозможно. С другой стороны, почти все приборы обладают инерционностью, т. е. требуют для измерения величины некоторого времени (быстродействие прибора). Оно, как правило, значительно больше периода быстрых процессов. Принцип измерения величин во многих приборах основан на измерении какого-то действия за определенный промежуток. Поясним примерами.

Среднее значение переменного тока за период T равно 0 для синусоидальной величины и не характеризует величину переменного тока.

Среднее значение переменного тока в течение полупериода по формуле (1) равно

Некоторые электроизмерительные приборы измеряют среднее значение тока за половину периода, но все они практически градуируются в действующих значениях переменного тока, к разъяснению понятия которого мы переходим.

Действующим (эффективным) значением I переменного тока называется значение такого постоянного тока, который производит такое же действие (тепловое, электромагнитное, механическое и др.), как и данный переменный ток.

Работа, совершенная постоянным током за период T, равна

A = UIT = I² RT,

а работа, совершенная переменным током, равна

Большинство электроизмерительных приборов в цепях переменного тока показывают действующее значение. Для физики и техники большее значение имеет действующее значение переменного тока, чем среднее значение переменного тока. В медицине иногда также выделяется усреднение на отрезке около наибольшего значения, так как оно может произвести на пациента большее влияние, чем средняя величина за период приема лекарства. Эти примеры показывают, что в некоторых науках усреднение функций производится по-разному, в зависимости от воздействия на объект.

Задача. Интервал движения автобуса a минут, интервал движения микроавтобуса – m минут, a Э N, m Э N. Человек приходит на остановку, не зная графика движения транспорта, т. е. случайным образом. Сколько времени в среднем ожидает человек на остановке, если курсируют автобус и микроавтобус?

Решение. Пусть курсирует только автобус с интервалом a минут. Введем отсчет времени от первого уходящего с остановки автобуса. Если пассажир пришел через t минут (t < a), то он ждет автобус a – t минут. Если он пришел через a – t минут, то он ожидает очередного автобуса t минут, т. е. для любого ожидания в t минут найдется случай, когда пассажир будет ожидать a – t минут. Для этих двух случаев среднее время ожидания равно минут. Оно не зависит от времени прихода на остановку. Рассматривая такие случаи для различных значений t, получим среднее время ожидания – мин. В этой задаче среднее время определено элементарным методом с использованием симметрии относительно середины промежутка [0; a].

Если пассажир пришел на остановку через t минут, то функция времени ожидания автобуса имеет вид

f(t) = a – t.

Найдем среднее значение времени ожидания автобуса на отрезке [0; a]

Аналогично, если курсирует только микроавтобус, то среднее время ожидания равно мин.

Рассмотрим общий случай, когда курсируют автобус и микроавтобус. Пусть m является делителем числа a, a = mk, k l 2. Пусть автобус приходит спустя s (s < m) минут после отхода микроавтобуса. В течение a минут человек может попасть в интервалы времени между транспортами: «микроавтобус – автобус, интервал s мин», «автобус – микроавтобус, интервал m – s мин», «микроавтобус – микроавтобус, интервал m мин» и т. д.

Если s = 0 или s = m, т. е. автобус и микроавтобус приходят на остановку одновременно, то среднее время ожидания в этом частном случае равно мин. Пассажир может воспользоваться микроавтобусом (автобусом он раньше не уедет). Автобус в этом случае можно исключить из рассмотрения, так как он приходит одновременно с микроавтобусом.

Пусть пассажир пришел на остановку через t минут после отхода микроавтобуса. Если 0 < t m s, то он ждет s – t минут автобус; если s < t m m, то он ждет m – t минут микроавтобус; если m < t m 2m, то он ждет 2m – t минут микроавтобус и т. д. функция ожидания равна

Функция ожидания является кусочно-линейной функцией и состоит из отрезков, образующих углы в 135° с осью ox.

Функция ожидания автобуса является периодической функцией с периодом T = a мин.

Учитывая геометрический смысл интеграла, для вычисления среднего значения функции ожидания достаточно вычислить площадь равнобедренных треугольников с катетами

При

Условие задачи также требует уточнения.

Если мы не знаем величины задержки автобуса относительно микроавтобуса, т. е. предположим, что она каждый день может меняться, тогда среднее значение ожидания следует рассмотреть как функцию t(s) от параметра s. Величину t(s) следует проинтегрировать на промежутке [0; m], а затем поделить на длину этого промежутка. Если s Э [im, (i + 1)m], i Э N, i < k, то рассуждения проводятся аналогичные.

Итак, среднее время ожидания автобуса на отрезке [0; a] вычисляется следующим образом

Иногда встречается следующая ошибка.

Если рассматривать все средние значения только на отрезке [0; m], то получим следующие результаты

Этот результат получается из предыдущего при k = 1 и это верно. Но если k > 1, то эта формула не учитывает интервал «микроавтобус – микроавтобус, интервал движения m минут, в течение которого не появляется автобус».

Некоторые задачи для самостоятельного решения.

1. Дан отрезок длиной a, на который произвольным образом бросается точка. Найдите среднее расстояние до границы отрезка.
2. Рассматриваются всевозможные треугольники с данными сторонами OA = a, OB = b и переменным углом g Э [0, p]. Найдите среднее значение площади треугольников.
3. В окружность радиуса R вписаны всевозможные прямоугольники с параллельными сторонами. Найдите среднее значение площади полученных прямоугольников.

1. Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Справочник по математике. – М., Лист, 1999.
2. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика. Алгебра и элементарные функции. – М., Агар, 1999.
3. Концепция математического образования в 12-летней школе. – Математика в школе, № 2/2000.
4. Математика. Большой энциклопедический словарь. – М., БРЭ, 1998.