Геометрия

Т. Ходеева,
школа N№ 1151, Москва

Изучение свойств многогранников

7-9 классы

Пространственное мышление значимо для каждого человека, независимо от уровня его образования и вида деятельности. Значительную роль в развитии пространственных представлений и пространственного мышления играет изучение свойств многогранников. В то же время, в сложившейся практике изучения геометрии, материал, связанный с многогранниками, рассматривается в конце изучения геометрии, что связано со строгим следованием аксиоматическому методу изложения этого курса. Изучая планиметрию, ученики не только не должны забывать о пространственных фигурах, а наоборот, должны расширить знакомство с ними. Ведь нас окружают реальные предметы — пространственные фигуры. Многие учащиеся, закончив девять классов, продолжают обучение в училищах, средних специальных заведениях, лицеях, колледжах или начинают заниматься практической деятельностью, и им необходимы элементарные знания трехмерной геометрии. Поэтому курс планиметрии целесообразно строить на фузионистских принципах, то есть в органичной связи с планиметрическим материалом должны быть введены свойства многогранников и, возможно, предусмотрено рассмотрение других стереометрических объектов. Общеобразовательная школа должна при первой возможности знакомить учащихся с простейшими видами многогранников, их изображениями, изготовлением, развертками, измерениями площади поверхности и объема, что подготовит учащихся, ориентированных на дальнейшее обучение в 10-м классе, к лучшему восприятию систематического курса стереометрии, а учащихся, заканчивающих обучение в 9-м классе, более полно познакомит с окружающим миром.

Распределение учебного и задачного материала, связанного с многогранниками, по темам планиметрии

wpe5B.jpg (69722 bytes)

Учебный материал и методические рекомендации к урокам

В курсе геометрии 7–9-х классов можно рассмотреть такие многогранники, как параллелепипед, призма, пирамида, а также правильные многогранники. Учащиеся этих классов учатся рассуждать, доказывать различные утверждения при изучении систематического курса планиметрии, а также хорошо представлять себе пространственные формы, видеть в них красоту.

Многогранник «определяется» в 5–6-х классах. Определение многогранника дается на описательном уровне следующим образом. Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника. Вершины этих многоугольников являются также и вершинами многогранника, а стороны многоугольника — ребрами многогранника. Здесь очень важно показать учащимся различные модели многогранников. Прежде чем изучать каждый вид многогранников в отдельности, определим общий подход к рассмотрению основных видов многогранников в 7–9-х классах. При рассмотрении многогранников в курсе планиметрии 7–9-х классов применим именно индуктивный путь ознакомления с основными видами многогранников. Рассмотрение призмы целесообразно начать с частных видов призм. А именно, рассмотреть уже знакомые виды призм, которые встречались в курсе математики 5–6-х классов (см.: Ходеева Т.В. Изучение свойств многогранников в курсе математики 5–6 классов. — Математика (еженедельная газета ИД «Первое сентября»), № 11, 13/2002), затем рассмотреть и другие. После этого можно дать общее описание произвольной призмы. Аналогичный подход и при рассмотрении пирамиды. При изучении основных видов многогранников в 7–9-х классах, так же как и в 5–6-х классах, нельзя дать точных определений, поэтому приводится описание многогранников каждого вида. При рассмотрении каждого вида многогранников целесообразно придерживаться некоторой схемы: описание данного вида многогранников; нахождение данного вида многогранников на рисунках, чертежах, среди окружающих предметов; изображение; развертка; некоторые свойства; сечение (имеется в виду сечения: параллельно плоскости основания или некоторой грани, проходящие через два не соседних ребра и другие), симметрия. Рассматривая различные виды многогранников, с которыми уже учащиеся встречались, целесообразно напомнить установленные свойства.

Из курса математики 5–6-х классов учащиеся уже знакомы с кубом, прямоугольным параллелепипедом, прямой призмой. Рассмотрение прямого и наклонного параллелепипеда, наклонной призмы возможно только после изучения понятия параллелограмм. Итак, параллелепипед — многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Здесь очень важно показать учащимся модели различных видов параллелепипедов: прямоугольного параллелепипеда, прямого параллелепипеда и наклонного параллелепипеда. На моделях с учащимися полезно обсудить, какими четырехугольниками являются грани параллелепипедов различных видов.

Свойства параллелепипеда

1о. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.
2о. Каждая грань параллелепипеда — параллелограмм.
3о. Противолежащие грани параллелепипеда равны.
4о. Параллельные ребра параллелепипеда равны.

Сечение параллелограмма

1. Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной грани. В сечении образуется параллелограмм.
2. Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через противолежащие ребра. В сечении образуется параллелограмм. В некоторых случаях в сечении может образоваться ромб, прямоугольник или квадрат.

При рассмотрении каждого вида многогранников (параллелепипеда, призмы, пирамиды) можно рассмотреть с учащимися 7–9-х классов стандартные сечения, такие как сечение многогранника плоскостью, параллельной плоскости одной из граней, и сечение многогранника плоскостью, проходящей через два не соседних параллельных ребра многогранника. При рассмотрении сечений многогранника вид сечения учащиеся 7–9-х классов, так же как и 5–6-х классов, определяют с помощью каркасных моделей многогранников или моделей, сделанных из пластилина. При этом от учащихся не требуется доказывать, что в сечении образуется та или иная фигура, главное — просто увидеть ее на моделях рассматриваемых многогранников.

Призма — это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма две противолежащие стороны лежат на основаниях призмы).

Свойства призмы

1о. Основания призмы являются равными многоугольниками.
2о. Боковые грани призмы являются параллелограммами.
3о. Боковые ребра призмы равны.

Сечение призмы

1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.

Рассмотрение правильной призмы возможно только после введения понятия правильный многоугольник. Однако с правильной треугольной призмой можно познакомить учащихся гораздо раньше. А с правильной четырехугольной призмой они знакомы еще из курса математики 5–6-х классов, так как она представляет собой прямоугольный параллелепипед с квадратами в основаниях. Правильная призма — прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники.

Свойства правильной призмы

1о. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
2о. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
3о. Боковые ребра правильной призмы равны.

Сечение правильной призмы

1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат.

Из курса математики 5–6-х классов учащиеся уже знакомы с описанием пирамиды. А именно: пирамида — многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Знакомство с правильной пирамидой возможно только после изучения понятия правильный многоугольник. Однако с правильной треугольной и правильной четырехугольной пирамидой можно познакомить учащихся значительно раньше. Правильная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник и все боковые ребра равны.

Свойства правильной пирамиды

1о. Основание правильной пирамиды — правильный многоугольник.
2о. Боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные треугольники.
3о. Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Сечение правильной пирамиды

1. Сечение правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение правильной пирамиды плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется равнобедренный треугольник. В некоторых случаях может образоваться равносторонний треугольник.

Рис. 1С некоторыми правильными многогранниками учащиеся уже встречались. Это треугольная пирамида и куб. Гранями треугольной пирамиды являются правильные треугольники. Ее называют правильным тетраэдром, что в переводе с греческого означает четырехгранник. Куб имеет шесть граней, поэтому называется правильным гексаэдром (по-гречески «гекса» означает шесть). Рассмотрение правильных многогранников следует начинать с тех из них, гранями которых являются правильные треугольники. Один из таких многогранников учащимся уже знаком — это правильный тетраэдр. Другой многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, изображен на рисунке 1.

Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому его называют правильным октаэдром («окта» — восемь).

И третий многогранник, гранями которого являются правильные треугольники — это правильный икосаэдр («икоса» — двадцать). Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников (рис. 2).

Рис. 3Рис. 2Многогранник, гранями которого являются квадраты — это куб. Учащимся он хорошо знаком. Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, изображен на рисунке 3. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому его называют правильным додекаэдром («доде» — двенадцать).

Как уже было отмечено выше, при рассмотрении каждого вида многогранников с учащимися 7–9-х классов целесообразно придерживаться такой же схемы, что и для 5–6-х классов, дополнительно рассмотрев симметрию многогранников. При ее рассмотрении учащиеся 7–9-х классов находят центр симметрии, плоскости симметрии и оси симметрии (если они существуют) с помощью моделей многогранников. При этом полезно предложить учащимся такое творческое и интересное задание, как изготовление моделей рассматриваемых многогранников с указанием на них плоскостей симметрии. Такие задания развивают пространственное мышление учащихся, дают возможность творчески подойти к выполнению задания и, что немаловажно, повышают интерес к предмету геометрия.

Симметрия куба

Рис. 41. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба) (рис. 4).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рис. 5).

Рис. 5

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 6).

Рис. 6

 Симметрия прямоугольного параллелепипеда

Рис. 71. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рис. 7).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рис. 8).

Рис. 8

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рис. 9).

Рис. 9

Симметрия параллелепипеда

Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда (рис. 10).

Рис. 10

Симметрия прямой призмы

Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рис. 11).

Рис. 11

Симметрия правильной призмы

1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис. 12)

Рис. 12

 2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рис. 13).

Рис. 13

 3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рис. 14).

Рис. 14

 Симметрия правильной пирамиды

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 15).

Рис. 15

 2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 16).

Рис. 16

Окончание в № 18

.TopList