Вступительные экзамены
в гимназии, лицеи и колледжи с повышенными требованиями к подготовке поступающих

Физико-математический лицей N№ 1511 при МИФИ – Московском государственном инженерно-физическом институте (техническом университете)

1. Упростите выражение

Решение. Заданное выражение имеет смысл при x Э [0; 1) » (1; + Ч). При этих допустимых значениях x получаем выражение

Ответ: 0 при x Э [0; 1) » (1; + Ч).

2. Решите систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство системы

_ x Э (– Ч; – 5] » (3; + Ч).

Второе неравенство системы решается аналогично

Таким образом, исходная система неравенств принимает вид

3. Найдите двузначное число, если известно, что цифра его десятков на два больше цифры единиц, а произведение этих цифр составляет 240% от их суммы.

Решение. Пусть 10x + y – двузначное число, т. е. x – цифра десятков, а y – цифра единиц.

По условию x – y = 2 и xy = 2,4(x + y) _ 10xy = 24(x + y) _ 5xy = 12x + 12y.

Таким образом, для неизвестных x и y получаем систему

Из первого уравнения x = y + 2. Исключив из второго уравнения x, получим

Условию удовлетворяет только y = 4, а значит, x = y + 2 = 6.

Ответ: 64.

4. Около прямоугольного треугольника PQT описана окружность радиуса R. Длина катета QT равна a. Через центр окружности O проведена прямая, пересекающая катет PQ в точке M так, что PM : MQ = 2 : 3. Найдите длину гипотенузы PT, катета PQ и площадь четырехугольника MOTQ.

Решение. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника PQT окружности (рис. 3) лежит на середине гипотенузы: PT = 2R. По теореме Пифагора Площадь D PQT равна

Записав производную пропорцию, получим

Рассмотрим треугольники PQT и PMO.

Искомая площадь равна

Ответ:

5. Постройте график уравнения y| x – 1 | = x³ – x² – 4x + 4.

Решение. Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак при x = 1. Рассмотрим 3 случая.

При x Э (– Ч; 1) уравнение принимает вид

– y(x – 1) = x³ – x² – 4x + 4 _

_ – y(x – 1) = x²(x – 1) – 4(x – 1) _

_ – y(x – 1) = (x – 1)(x² – 4) _ y = – x² + 4.

При x = 1 уравнение принимает вид 0 = 1 – 1 – 4 + 4, т. е. при любом y является тождеством.

При x Э (1; + Ч) уравнение принимает вид y(x – 1) = (x – 1)(x² – 4) _ y = x² – 4.

Таким образом, получаем картинку, показанную на рисунке 4.

Энергофизический лицей N№ 1502 учебного комплекса «Школа – вуз» при МЭИ – Московском энергетическом институте (техническом университете)

1. Упростите выражение

Решение. При допустимых значениях a и b имеем упрощения

Ответ:

2. Если сначала половину заказа выполнит один рабочий, а потом другую половину – второй рабочий, то весь заказ будет выполнен за 2 ч. Если же первый рабочий выполнит одну треть заказа, а потом оставшуюся часть выполнит второй, то весь заказ будет сделан за 2 ч 10 мин. За сколько времени каждый рабочий может выполнить весь заказ?

Решение. Пусть x и y – производительность (часть заказа, выполняемая за час) соответственно первого и второго рабочих, тогда – время выполнения заказа одним первым рабочим, – одним вторым рабочим. По условию

Если первый рабочий выполнит треть заказа, а второй – две трети заказа, заказ будет сделан за т. е.

Таким образом, для неизвестных x и y получаем систему

Умножив первое уравнение на 13 и вычтя из него второе уравнение, умноженное на 4, имеем

Исключив из первого уравнения y, получим

а значит, По найденному x находим Таким образом, время выполнения заказа одним первым рабочим равно одним вторым рабочим –

Ответ: 1,5 и 2,5 ч.

3. Решите уравнение

Решение. ОДЗ уравнения определяется условием 4 – x l 0 _ x m 4, а уравнение запишем в виде

При допустимых x выражение под знаком модуля отрицательно, поэтому | x – 5 | = 5 – x и тогда x² – 4x – 12 = 0, x₁ = – 2, x₂ = 6.

Второе из найденных значений не входит в ОДЗ.

Ответ: – 2.

4. Решите систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство системы (сокращая дроби)

Решим второе неравенство системы (сокращая дробь)

Таким образом, исходная система принимает вид

Ответ:

5. При каких значениях k корни x₁ и x₂ уравнения x² + (k – 1)x – k² + 6 = 0 удовлетворяют соотношению

Решение. При D > 0 по теореме Виета для заданного уравнения имеем

Преобразуем заданное соотношение

Разделив обе части равенства на x₁ – x₂ ­ 0, получим

Подставим найденные выражения для x₁x₂ и x₁ + x₂

Найдем дискриминант

D = (k – 1)² + 4(k² – 6) = k² – 2k + 1 + 4k² – 24 = 5k² – 2k – 23.

Выясним, какие из найденных значений k удовлетворяют условию D > 0.

При k = – 2 имеем D = 5ж4 + 4 – 23 = 1 > 0, а при имеем

Таким образом, искомая ситуация будет иметь место при k = – 2.

Ответ: – 2.

Московский финансовый колледж

1. Двое рабочих выполняют определенную работу за 6 дней. Если первый рабочий будет работать в два раза быстрее, а другой в два раза медленнее, то эту же работу они выполнят за 4 дня. За сколько дней выполнил бы всю работу первый рабочий, работая один?

Решение. Пусть x и y – производительность соответственно первого и второго рабочих (доля всей работы, выполняемая за день), тогда x + y – производительность рабочих при их совместной работе, – искомая величина, т. е. число дней, за которое первый рабочий выполнит всю работу.

По условию

Из второго условия вытекает, что Таким образом, для x и y получаем систему

Умножив второе уравнение на 3 и вычтя из него первое, имеем Значит, работая один, первый рабочий может выполнить всю работу за 9 дней.

Ответ: 9 дней.

2. Число членов геометрической прогрессии четное. Сумма всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть n – число членов заданной геометрической прогрессии (n – четное), тогда сумма всех членов прогрессии равна Конечная последовательность b₁, b₃, b₅, ..., b_n–1 членов исходной прогрессии, стоящих на нечетных местах, также является геометрической со знаменателем q², причем число членов этой последовательности равно

Сумма S всех членов этой прогрессии

По условию сумма S в три раза больше суммы S, т. е.

Так как b₁(1 – qⁿ) ­ 0, получаем

Ответ: 2.

3. Решите уравнение (x² + 3x – 5)(x² + 3x + 3) + 7 = 0.

Решение. Выполнив замену x² + 3x = t, приходим к уравнению

После обратной замены находим

Ответ: – 4; – 2; – 1; 1.

4. Упростите выражение

Решение. Выделив полный квадрат, получим

Ответ: 1.

5. В трапеции ABCD основания равны 20 см и 7 см, а диагонали 13 см и
Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на AD перпендикуляры BE и CF, тогда BE = CF. Пусть AE = x, DF = y и BE = CF = h.

Учитывая, что BC = EF, а AD = AE + EF + FD, получаем

20 = x + 7 + y _ x + y = 13.

По теореме Пифагора для треугольников ABE и CFD имеем

169 = h² + (x + 7)² _ h² = 120 – x² – 14x,

250 = h² + (y + 7)² _ h² = 201 – y² – 14y.

Таким образом, для неизвестных x, y и h получаем систему

Исключив из системы h, приходим к системе

Из первого уравнения y = 13 – x. Исключив из второго уравнения y, находим

x² + 14 – (13 – x)² – 14(13 – x) + 81 = 0 _ x² + 14x – 169 + 26x – x² – 182 + 14x + 81 = 0 _ 54x = 270 _ x = 5.

По значению x ищем y и h y = 13 – x = 13 – 5 = 8,

Искомая площадь S трапеции ABCD равна

Ответ:  

В заключение предлагается подборка экзаменационных задач вышеупомянутых учебных заведений.

Задачи для самостоятельного решения
Гимназия № 1518

1. Между числами 1 и 256 вставьте три положительных числа так, чтобы все пять чисел составили геометрическую прогрессию.

2. В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам, равны Найдите длину гипотенузы.

3. Два пешехода вышли одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу. Один приходит в пункт A через 12 мин после их встречи, другой приходит в пункт B через 27 мин после встречи. Сколько минут был в пути тот, кто пришел в пункт B?

4. Решите уравнение x³ – x = 120.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 3sin² x – 5cos² x.

6. Решите неравенство

7. Внутри равностороннего треугольника имеется точка, отстоящая от его сторон на расстояния 7,5 и 3. Найдите длину стороны треугольника.

8. При каких значениях m уравнение | x² + 14x + 2 | = m имеет ровно три решения?

9. В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке K. Найдите площадь S треугольника AKD, если AB = 27 см, DC = 18 см, AD = 3 см, В ответе указать

Лицей № 1511

10. В равнобедренном треугольнике KLM длина основания KM равна a, а длина высоты, опущенной из точки K на боковую сторону ML, равна h. Найдите длины всех медиан треугольника.

11. Даны числа от 500 до 1500. Для скольких из них ни 6, ни 13 не являются делителями? (Ответ обосновать.)

12. В треугольнике ABC угол C в два раза меньше разности углов B и A и в пять раз меньше суммы углов B и A. Найдите все углы и площадь треугольника, если высота BD равна 6 см.

13. Среди значений параметра a, при которых один из корней уравнения (a – 2)x² + 2ax + a + 5 = 0 в два раза больше другого, найдите те, при которых один из корней больше – 1.

14. На координатной плоскости изобразите геометрическое место точек (x; y), координаты которых удовлетворяют уравнению y² – 4x² = (y + 2x)(2y – x – 4).

15. Решите неравенство x² – 5| x + 2 | + 4x + 8 > 0.

Лицей № 1502

16. Упростите выражение

.

17. Найдите все значения параметра k, при которых действительные корни x₁ и x₂ уравнения

удовлетворяют соотношению

Московский финансовый колледж

18. Расстояние между городами A и B равно 50 км. Из города A в город B отправился велосипедист, а через
1 ч 30 мин вслед за ним отправился мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в город B на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого, зная, что мотоциклист двигался со скоростью в 2,5 раза большей, чем велосипедист.

19. Найдите значение выражения sin³ x + cos³ x, если sin x + cos x = a.

20. Вычислите выражение если известно, что

21. Решите систему уравнений

22. Вычислите cos (90° + a), если

23. Три насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 3 ч. Первый и второй насосы, работая вместе, наполняют бассейн за 6 ч, второй и третий, работая вместе – за 4,5 ч. За какое время наполнил бы этот бассейн каждый насос, работая самостоятельно?

24. Решите неравенство

25. Решите уравнение 1 + 7 + 13 + 19 + ... + x = 280.

26. В результате инфляции первоначальная цена товара повысилась на 20%, затем еще на 10%. После нового пересчета цена повысилась еще на 10%. На сколько процентов повысилась первоначальная цена товара?

27. Решите неравенство .

Ответы

Литература

Иванов М.А. Вступительные экзамены по математике в гимназии, лицеи и колледжи с повышенными требованиями к подготовке поступающих. – М., КУДИЦ-ОБРАЗ, 1999.
Издательство «ОЦ КУДИЦ-ОБРАЗ» осуществляет рассылку книг по почте. Заказы принимаются по адресу: 121354, Москва, а/я 18; или по e-mail: ok@kudits.ru.

Стоимость книг, а также более подробную информацию о других изданиях, вы можете получить, прислав в наш адрес запрос на рекламный лист.  Просим вкладывать конверт со своим обратным адресом.