Г. Прокопенко,
ЧПГУ, г. Челябинск

Методы решения задач
на построение сечений многогранников

Геометрические задачи традиционно делятся на три типа: 1) на вычисление; 2) на доказательство; 3) на построение. Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листе бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связано с темой «Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи на вычисления и доказательство

легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями.

1. Основные понятия теории изображения фигур

1.1. Параллельное проектирование и его свойства

Пусть в евклидовом пространстве дана некоторая плоскость P₀ и вектор Пусть M – любая точка пространства, не принадлежащая плоскости P₀. Проведем прямую через M, тогда M₀ называют проекцией точки M на плоскость P₀.

Если то M₀ – ортогональная проекция точки M на P₀. Если то M₀ = M (рис. 1а и б).

Множество F₀ проекций точек данной фигуры F на плоскость P₀ называется проекцией фигуры F на плоскость P₀.

Легко показать, что параллельное проецирование, как отображение множества точек пространства во множество точек плоскости P₀, обладает свойствами (рис. 2а, б, в):

1. Проекцией прямой l является прямая l₀, если  если   то проекцией прямой l является точка L₀, где
2. Проекцией параллельных прямых являются параллельные прямые или совпавшие прямые, или две точки.
3. Коллинеарные точки A, B, C проектируются в коллинеарные точки A₀, B₀, C₀ или в одну точку.
4. Неколлинеарные точки A, B, C, лежащие в плоскости P, не параллельной вектору проектируются в неколлинеарные точки A₀, B₀, C₀.
5. Сохраняется отношение «лежать между» для трех коллинеарных точек A, B, C, если
6. Сохраняется простое отношение трех точек A, B, C, если
7. Если отрезок (луч) AB не параллелен то проекцией AB является отрезок (луч) A₀B₀ (рис. 3).
8. Проекцией пересекающихся прямых являются пересекающиеся прямые или совпадающие прямые.
9. Проекцией скрещивающихся прямых являются пересекающиеся прямые или параллельные прямые, или совокупность точки и прямой (рис. 4а, б и в).
10. Проекцией угла ABC является угол A₀B₀C₀, в общем случае ему неравный (плоскость ).

11. Если две фигуры F и F – плоские, и плоскости, в которых они лежат, параллельны между собой, но не параллельны то отношение площадей проекций F₀ и F₀ равно отношению площадей самих фигур F и F, т. е.

Если – проецируемая фигура при параллельном проецировании, заданном вектором на плоскость P₀, то F называют оригиналом, – направлением проецирования, P₀ – плоскостью проекции, F₀ – проекция фигуры на плоскость P₀. Если некоторая фигура F плоскости P подобна фигуре F₀ плоскости P₀, то F может быть принята за изображение фигуры , т. е. изображением фигуры может являться любая фигура F, подобная параллельной проекции F₀.

1.2. Требования к чертежу

Первым и важнейшим шагом решения геометрической задачи является построение чертежа, соответствующего условию. Если задача планиметрическая, то чертеж является либо копией оригинала, либо ему подобен. При изображении пространственных фигур возникают трудности, ибо не может плоская фигура быть подобной пространственной. Чертеж должен удовлетворять некоторым требованиям, способствующим наилучшему восприятию изображения пространственной фигуры.

Прежде всего чертеж должен быть верен, т. е. представляет собой фигуру, подобную произвольной параллельной проекции оригинала. При этом естественно должны выполняться все свойства параллельного проецирования.

Во-вторых, чертеж должен быть наглядным, т. е. дающим пространственное представление об оригинале. С этой целью на изображении помимо очертания рассматриваются видимые и невидимые линии. Сравните восприятие рис. 6 и 7.

Наконец, чертеж должен быть легко выполним циркулем и линейкой, его построение должно удовлетворять аксиомам конструктивной геометрии. Однако разделы «Геометрические построения на плоскости» и «Методы изображений» так далеко отстоят друг от друга, что при изучении одного мы совершенно забываем об изученном ранее другом.

1.3. Изображение плоских фигур в параллельной проекции

При изображении плоских фигур в параллельной проекции применяются следующие теоремы.

Теорема 1. Изображением является любой треугольник ABC.

Теорема 2. Если дано изображение   на плоскости P, то можно построить изображение любой точки плоскости .

Доказательство приводится в учебнике авторов Александрова и др. «Геометрия 10–11 кл.» – М.: Просвещение. 1992. (§ 29, п. 1).

Исходя из теорем 1 и 2, легко построить изображения любых плоских фигур; в частности, изображением параллелограмма (квадрата, ромба, прямоугольника) является любой параллелограмм. Изображением трапеции является трапеция с тем же отношением длин оснований. Изображением окружности является эллипс, изображением перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса.

Ввиду того, что при изображении сферы, цилиндра, конуса необходимо уметь строить изображение окружности, остановимся немного подробнее на способах построения эллипса.

Способ I. Построение эллипса по двум главным диаметрам AB и CD (рис. 8).

1. – середина отрезка AB.
2. w₁(O, OC), w₂(O, OA) – окружности.
3.
4.
5.
6. – искомая точка эллипса.

Доказательство правильности построения легко провести, введя систему координат O(0; 0), B(a; 0), C(0; b) и рассматривая параметр t – угол между осью Ox и прямой l.

Способ II. Построение эллипса по двум сопряженным диаметрам, используя перспективно аффинные преобразования плоскости (рис. 9).

Пусть AB и CD – два сопряженных диаметра эллипса. Построим на диаметре AB окружность и проведем диаметр C₁D₁, ей перпендикулярный. Применим перспективно аффинное преобразование, заданное осью AB и парой соответствующих точек C₁ ® C (или D₁ ® D). Тогда образом окружности будет эллипс.

Собственно построение.

1. AB, CD, O – середина отрезков AB и CD.
2. w(O, OA) – окружность.
3.
4.
5.
6. CM₀.
7.
8. – искомая точка эллипса.

Можно значительно упростить построение образа точки M1, используя подобие треугольников OCC₁ и QMM₁

Существует много других способов построения эллипса.

1.4. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции

При изображении пространственных фигур в параллельной проекции применяют теорему Польке–Шварца. Всякий невыраженный полный четырехугольник ABCD вместе с его диагоналями можно рассматривать как изображение тетраэдра любой наперед заданной формы (рис. 10).

Используя теорему Польке–Шварца и свойство параллельного проецирования, легко показать, что изображением призмы и пирамиды (рис. 11), цилиндра и конуса (рис. 12) являются фигуры.

2. Методы построения сечений многогранников

2.1. Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры . Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры . Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения. В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения».

Пусть M, N, K – точки секущей плоскости, M₁, N₁, K₁ – их проекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров для конусов и пирамид (S – вершина). Удобнее обозначать вершины нижнего основания через A₁, B₁, C₁, ... верхнего основания – A, B, C, ... . Кратко суть метода следов можно записать следующим образом.

1)
2)
3) XY = s – след секущей плоскости;
4) Возможно
       
5)
6) пункты 4–5) повторить для вершин B₁, C₁, ... нижнего основания фигуры F;
7) – искомое сечение.

Фактически где f – гомология, заданная осью s и парой точек M₁ ® M или N₁ ® N, или K₁ ® K.

Строить сечение фигуры F секущей плоскостью a методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки M, N, K, принадлежащие плоскости a, и решение проводить по указанной схеме.

Пример 1. Постройте сечение призмы A₁B₁C₁D₁ABCD плоскостью, проходящей через три точки M, N, K. Рассмотрите все случаи расположения точек M, N, K на поверхности призмы (рис. 13).

 

Рассмотрим случай: В данном случае очевидно, что M₁ = B₁.

Построение.

1.
2.
3. XY = s – след секущей плоскости.
4.
5.
6.
7.
8. – искомое сечение.

Пример 2. Постройте сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку и прямую l, лежащую в грани SED (рис. 14).

Построение.

1.
2.
3. – след секущей плоскости.
4.
5.
6. – искомое сечение.

При объяснении шагов построения можно использовать понятие гомологии или факты стереометрии, опираясь на наглядное представление о данных в условии задачи фигурах. Например, в последнем примере комментарии учителя могут быть следующими.

1. То, что дано, считается построенным.
2. Так как точка M лежит в грани SBC, то прямые SM и BC пересекаются, следовательно, легко построить их точку пересечения M₁.
3. Прямая l лежит в грани SED, значит, она пересекает ребра SD и SE в точках и
4. Находим прямую s пересечения плоскости основания и секущей плоскости, используя известные точки в секущей плоскости.
5. Очевиден шаг построения.
6. Прямые BC и s лежат в одной плоскости, B₀ – их точка пересечения лежит в секущей плоскости, в плоскости основания и в плоскости SBC. Точка M лежит в секущей плоскости и в плоскости SBC. Следовательно, прямая B₀M является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани SBC. Таким образом, легко построить точки и

В задачах на построение сечений не принято проводить исследования, хотя было бы очень полезно его провести. Например, в примере 2 на втором шаге построения рассмотреть случай, когда l SD или l SE, на третьем шаге – l ED, на четвертом – s не пересекает AE и AB, на пятом – s BC. Рассматривая различные точки, получим при одном условии задачи несколько вариантов решения. В общем случае количество вершин многоугольника сечения может изменяться от 3 до n + 1 – для пирамиды, n + 2 – для призмы.

Метод следов легко объясним, нагляден, но не всегда удобен в практике построения сечений многогранников, так как расположение точек X и Y следа s может быть за рамками чертежа, прямые, определяющие точку X (или Y) могут быть параллельны (рис. 15).

В тех случаях, когда применение метода следа затруднено, применяют метод внутреннего проецирования или так называемый метод вспомогательных сечений.