Первое математическое знакомство

Существует много способов первого знакомства с новой аудиторией. В течение нескольких последних лет мы используем для этого набор простых и легких заданий, отводя на их выполнение 10–15 минут. Последующий анализ полученных ответов дает содержательное представление об уровне собравшихся слушателей.

Одно из наиболее легких заданий формулируется так:нарисуйте треугольник.

Обсудим вопросы, связанные именно с этим заданием.

Конечно, общие итоги выполнения задания «нарисуйте треугольник» от случая к случаю разнятся, но неизменным остаются заметное преобладание в представляемых рисунках остроугольных треугольников (как правило, они занимают не менее двух третей от числа всех нарисованных), и среди этих рисунков исчезающе малая доля тупоугольных треугольников. И если на основании такого «опроса общественного мнения» делать выводы о том, какой вклад вносят остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники, то результаты будут выглядеть примерно так: остроугольных треугольников приблизительно 70–75%, прямоугольных треугольников 20–25%, а тупоугольных треугольников 3–6%.

Попробуем оценить в «треугольном сообществе» долю каждого из этих трех видов треугольников.

Заметим, что сделать это непосредственным подсчетом практически невозможно, так как множество всех треугольников очень велико, а именно – бесконечно. Тем не менее, с помощью несложных рассуждений можно составить список всех треугольников, причем этот список будет нагляден и вполне обозрим.

Каждый треугольник описывается целым набором параметров. В их число входят углы, длины сторон, площадь и т.д., которые связаны известными соотношениями. Для того, чтобы однозначно (с точностью до равенства) определить треугольник, нужно задать не менее трех параметров, один из которых непременно должен быть метрическим.

Упрощая дальнейшие рассуждения, ограничимся только углами. Иными словами, подобные треугольники будем считать неразличимыми.

Чтобы однозначно (с точностью до подобия) определить треугольник, необходимо знать три его угла x, y и z, которые должны быть связаны (рис. 1) следующими условиями:

x + y + z = 180°, x > 0, y > 0, z > 0. (*)

Под классом подобных треугольников будем понимать совокупность всех треугольников, подобных произвольно выбранному. Ясно, что любая тройка чисел x, y и z, связанная условиями (*), определяет ровно один класс подобных треугольников.

Выражая z через x и y,   z = 180° – x – y,

видим, что фактически каждый класс подобных треугольников можно описать парой чисел x и y таких, что

x + y < 180°, x > 0°, y > 0°.

В любом треугольнике по меньшей мере два острых угла. Для определенности будем считать, что это углы x и y.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy и отметим на ней множество точек M, координаты x и y которых удовлетворяют неравенствам

0° < x < 90°, 0° < y < 90°.

Первое из неравенств задает вертикальную полосу ширины 90°, а второе – горизонтальную полосу той же ширины (рис. 2).

В результате получим квадрат OABC со стороной 90° (рис. 3). Каждой внутренней точке этого квадрата соответствует класс подобных треугольников, один из острых углов которых равен x, а другой – y.

Таким образом, построенный квадрат представляет собой своеобразный список всех треугольников (напомним, что в проведенных рассуждениях подобные треугольники мы не различаем). В частности, точкам на диагонали AC,

x + y = 90°,

отвечают равнобедренные треугольники (рис. 4).

Произвольно взятый треугольник может оказаться:либо остроугольным x + y >90°,

либо прямоугольным   x + y = 90°,

либо тупоугольным   x + y < 90°.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением x + y = 90.

Она проходит через точки A и C (рис. 5) и разбивает плоскость на две полуплоскости. Для координат точек, лежащих в одной из этих полуплоскостей, выполняется неравенство  x + y > 90,

а для точек, лежащих в другой полуплоскости, неравенство    x + y < 90. (**)

Для того чтобы определить, какую из этих двух полуплоскостей описывает последнее неравенство, поступим следующим образом. Возьмем на плоскости точку, про которую точно известно, в какой именно из двух рассматриваемых полуплоскостей она лежит.

Наиболее удобно взять начало координат – точку O(0; 0). Где лежит эта точка, видно из чертежа (рис. 6). Нулевые координаты точки O, будучи подставленными в левую часть формулы (**), обращают ее в верное неравенство 0 < 90. Это означает, что точка O лежит в той полуплоскости, которую описывает неравенство (**) (на рисунке 7 эта полуплоскость заштрихована).

Но вернемся к рассмотрению квадрата OABC. Его диагональ AC лежит на прямой, описываемой уравнением  x + y = 90,

и делит этот квадрат на два равных треугольника OAC и ABC.

Каждой внутренней точке треугольника OAC – он описывается неравенствами

x + y < 90, x > 0, y > 0

– соответствует класс подобных тупоугольных треугольников, а каждой внутренней точке треугольника ABC – он описывается неравенствами

x + y > 90, x < 90, y < 90

– класс подобных остроугольных треугольников.

И наоборот, каждому классу подобных тупоугольных треугольников соответствует внутренняя точка треугольника OAC, а каждому классу подобных остроугольных треугольников – внутренняя точка треугольника ABC.

Точкам на диагонали AC – она описывается соотношениями x + y = 90, 0 < x < 90, 0 < y < 90

– отвечают классы подобных прямоугольных треугольников и только они.

Тем самым, внутренность треугольника OAC представляет собой часть списка всех треугольников, объединяющую все тупоугольные треугольники, внутренность треугольника ABC – все остроугольные треугольники, а диагональ AC – все прямоугольные треугольники.

Вычисляя площади построенных фигур – треугольников OAC и ABC – убеждаемся в том, что в «треугольное сообщество» множество остроугольных треугольников вносит ровно половину вклада, множество тупоугольных треугольников имеет с ним равную долю, в то время как доля прямоугольных треугольников равна нулю.

Замечание. Строго говоря, список классов подобных треугольников имеет несколько иной вид, так как можно считать, что первый из рассматриваемых углов (угол x) не меньше другого (угла y) (рис. 8), однако на окончательные выводы это обстоятельство не влияет.

Подведем некоторые итоги. По результатам опросов вклады трех типов треугольников в среднем можно описать пропорцией 14 : 5 : 1, по результатам приведенных расчетов – пропорцией 1: 0 : 1, а если сравнить мощности этих множеств, то окажется, что их вклады равны, 1 : 1 : 1.

Как видно, три разных способа подсчета, каждый из которых вполне обоснован, приводят к трем разным результатам. Это не так удивительно, если вспомнить, что все три рассматриваемые множества бесконечны.

Впрочем, субъективную оценку, получаемую в ходе опроса, объяснить нетрудно. В самом деле, путем прямого подсчета довольно просто выяснить, что среди треугольников, нарисованных в произвольно взятом учебнике по планиметрии, подавляющее большинство составляют именно остроугольные треугольники (часто близкие к равносторонним), реже встречаются рисунки прямоугольных треугольников и совсем редко – тупоугольных.

Тем самым, у школьника постепенно начинается cкладываться впечатление, что аналогичная ситуация имеет место и вне учебника. А это уже мешает многим абитуриентам правильно отвечать на вступительном экзамене в высшее учебное заведение по математике (устно) на совсем несложные вопросы. Например, такой: может ли радиус окружности, описанной около треугольника с периметром 1 см, быть равным 1 км? Мешает сложившийся стереотип.

Поэтому обсуждение внешне довольно отвлеченного вопроса о том, сколько же прямоугольных (остроугольных, тупоугольных) треугольников, может оказаться полезным для преподавания геометрии в средней школе (даже с такой практической точки зрения, как вступительные экзамены в вуз).