А. Егоров,
Москва

Задачи математической регаты

1. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B. Сколько времени они ехали до встречи, если после встречи первому автомобилю осталось ехать до пункта B 16 ч, а второму до пункта A — 9 ч? (Автомобили едут с постоянными скоростями.)

Ответ: 12 ч.

2. Можно ли нарисовать на плоскости 1000 попарно пересекающихся окружностей?

Ответ: можно (рис. 1).

3. Найдите сумму цифр числа 

Решение.

Ответ: 18n.

4. Существует ли четырехугольник, противоположные стороны которого попарно перпендикулярны?

Ответ: существует (рис. 2).

5. В некотором шестизначном числе, делящемся на 101, цифры заменили буквами (разным цифрам соответствуют разные буквы) и получили слово БАОБАБ. Что это за число?

Ответ: 910 919.

Указание. Поскольку 100є– 1 (МОД 101), из условия следует, что число БА – ОБ + АБ делится на 101. В свою очередь это означает, что последнее выражение равно 101.

6. Два параллелограмма ABCD и KBML расположены так, как показано на рисунке 3. Известно, что S_ABCD = 1, MC : CL = 1 : 2, LP : PK = 2 : 3. Найдите S_CPL.

Ответ: .

Указание. Воспользуйтесь тем, что а 

7. Какое из двух положительных чисел a и b больше, если

Решение. В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

откуда a – b > 0.

Ответ: a > b.

.