Р. Трифонова,
г. Суровикино, Волгоградская обл.

Теорема Виета

9—11 классы

Теорема Виета применяется в 8-м классе для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений в 9–11-х классах. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Рассмотрим систему уравнений

 

Если допустить, что x и y – корни некоторого приведенного квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем

 

Ответ:(2; 3), (3; 2).

Учащиеся довольно быстро осваивают этот способ решения и с удовольствием используют его. Далее можно усложнять системы и использовать этот прием при изучении различных тем в 10–11-х классах. Например,

а) 

При условии получаем:

Пусть   – корни некоторого приведенного квадратного уравнения, тогда данная система равносильна совокупности двух систем

Вторая система совокупности не имеет решения, решением первой является пара x = 9, y = 4.

Ответ: (9; 4).

б) 

При условии x > 0, y > – 1 получаем

Ответ:

Видно, что этот прием упрощает решение систем в отличие от традиционного введения новой переменной и дальнейшей подстановки. Многие системы уравнений из «Сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре» в 9-х и 11-х классах можно решать таким образом.

Ниже приведены системы уравнений, решаемые с помощью теоремы Виета.

Аналогичные системы уравнений можно составить самому учителю или подключить к этому учащихся, что способствует развитию интереса к предмету.

 

.