П. Севрюков,
г. Ставрополь

О решении иррациональных уравнений

11 класс

Молодые учителя математики довольно часто не могут объяснить природу ошибок, появляющихся при правильном (с точки зрения методических пособий) решении иррациональных уравнений.

Область определения уравнения определяется как область, в которой определены все выражения, входящие в уравнение.

1. Решите простейшее иррациональное уравнение

Решение. Способ I. Область определения уравнения x Ј 5. Следуя множеству методических указаний, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда

5 – x = x² – 6x + 9,  x² – 5x + 4 = 0.

Корни получившегося квадратного уравнения x₁ = 1 и x₂ = 4. Проверка показывает, что первый из корней приобретен в процессе решения.

Ответ: 4.

Примечание 1. Обратим внимание на то, что оба корня попадают в область определения уравнения!

Способ II. Проведем тождественные преобразования:

Решение квадратного уравнения системы дает два корня: x₁ = 1 и x₂ = 4. Первый из полученных корней не удовлетворяет неравенству системы, поэтому x = 4.

Выполнение тождественных преобразований позволяет обходиться без проверки!

Примечание 2. Неравенство x – 3 і 0 относится к тождественным преобразованиям, а не к области определения уравнения (см. решение следующего уравнения).

Примечание 3. В левой части решаемого уравнения стоит убывающая функция, а в правой части этого уравнения расположена возрастающая функция. Графики убывающей и возрастающей функции в пересечении их областей определения могут иметь не более одной общей точки. Очевидно, что в нашем случае при x = 4 имеется пересечение графиков.

2. Решите уравнение

Решение. Способ I. Найдем область определения уравнения

Возведем обе части уравнения в квадрат

Повторное возведение в квадрат дает

8x² + 20x – 12 = 196 – 84x + 9x²,

x² – 104x + 208 = 0.

Корни квадратного уравнения

Примечание 4. Решение простого исходного уравнения дает два корня, входящих в область определения. Проверка из-за громоздкости корней вызывает затруднения: она гораздо сложнее нахождения самих корней уравнения.

Примечание 5. В левой части решаемого уравнения стоит сумма двух возрастающих функций, т. е. функция возрастающая. Она может принимать при x і 0,5 значение, равное 4 единственный раз, поскольку при x = 0,5 левая часть уравнения имеет значение а при возрастании x возрастает. Очевидно, что x₁ не является корнем уравнения, так как первый радикал левой части уравнения уже больше 10, а второй радикал положителен.

Ответ:

Способ II. Проведем тождественные преобразования.

Решение квадратного уравнения полученной системы дает два корня Только второй корень удовлетворяет неравенству системы и является решением уравнения.

Ответ:

3. Решите уравнение

Решение. Воспользуемся известной формулой сокращенного умножения (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y). Тогда, возведя обе части уравнения в куб, получим

С учетом исходного уравнения

Повторное возведение в куб обеих частей уравнения дает

2x² – 3x + 1 = 1 – 3x + 3x² – x³,

x³ – x² = 0, x²(x – 1) = 0, x = 0 или x = 1.

Проверка показывает, что 1 – корень уравнения.

Ответ: 1.

Примечание 6. Решение уравнения требует обязательной проверки! Посторонний корень появляется при подстановке единицы вместо выражения в скобках в соответствии с исходным равенством. Эта подстановка не является тождественным преобразованием, поскольку выражение в скобках равно единице только при x = 1. Единственность корня уравнения см. в примечании 5.