Ю. Покорный, А. Боровских, М. Давыдова,
г. Воронеж

Галилей и ОДЗ

"Великая книга природы написана на языке математики», — провозгласил Галилей. Эти слова широко известны, однако понятен ли всем их смысл сегодня?

Во-первых, в чем смысл их пафоса, если Галилей не знал математики в объеме современной школы? Что на эту тему известно хотя бы учителю, не то что школьнику?

Во-вторых, и это главный вопрос, что за «язык математики» имел в виду Галилей? Можно ли считать, что это тот самый язык, на котором пишутся учебники, ведется преподавание в школе и вузе, тот самый язык, стержнем которого является математическая символика? Считать так — серьезно заблуждаться и серьезно недооценивать роль обычного языка в преподавании математики.

Массовое внедрение символики в математические тексты, даже самой простой (±, », дробная черта и т. д.), произошло лишь в конце XVII в., благодаря, в основном, усилиям Лейбница и появлению регулярных математических журналов. Да и профессии преподавателя математики до того не было, равно как и системы государственных школ. Практической математике бухгалтеров учили рехенмейстеры — мастера вычислений, а в университетах будущих теологов и священников знакомили с «Началами» Евклида. Так что весь современный математический язык сформировался за последние три века. Однако что же тогда называл Галилей математическим языком? То, чего фактически не было?! Или почти не было? Но ведь и Леонардо да Винчи считал точно так же, сказав несколько раньше буквально те же слова! Можно ли их считать шуткой гениев?

Мы даже не осознаем серьезности проблем, завязанных на языке, в преподавании математики. Ведь язык — это не только средство информационной коммуникации от личности к окружению и наоборот, но и средство внутреннего диалога, формирующего сознание; ведь язык — это дорога к интуиции, к комплексам ассоциаций, это система кодирования таких комплексов и т. д. Отмеченная недооценка проявляется в замалчивании языковых парадоксов и абсурдов, имеющих место уже к началу младших классов. Равенство 2 + 3 = 5 вначале озвучивается так: «К двум прибавить три — получится пять», — то есть знак равенства звучит как «получится». Затем этот же знак звучит как «равно», но на всю жизнь остается и регулярно используется первая версия — «получится». Правая часть, то есть пять, вначале названа суммой, а чуть позже суммой оказывается 2 + 3, а правая часть — значением суммы. Знаки плюс и минус приобретают собственный смысл (формально описываемый), который потом вдруг то ли деформируется, то ли дополняется при превращении «+» и «–» в знаки чисел. Какая разница между отношением и частным — понять невозможно. Чем от них отличается дробь? Что вообще подразумевается под словом «дробь»? Оказывается, — все что угодно: от объединения долей до частного от деления и, далее, до любой двухэтажной записи с горизонтальной чертой между «этажами». Является ли дробью отношение в подобных треугольниках (если стороны не измерены)?! Этот перечень можно продолжать и продолжать: смысл слов «добавить» и «отнять» начинает «кувыркаться» уже в отрицательных числах; слов «умножить» и «разделить» — уже в дробях; нуль из символа «ничего» превращается в нулевую добавку, что есть совершенно другая сущность; единица, впечатанная в родной язык как символ цельности и неделимости, вдруг превращается в «нечто», допускающее деление на что угодно и т. д. Самое замечательное — все эти бифуркации и мутации смыслов происходят молча, без комментариев. Одна (хотя бы даже) запись 2 = 3 чего стоит. Абсурдная вещь признается допустимой и осмысленной, но с приговоркой о «неверном равенстве»! Но ведь в лучшем случае это даже не чистая математика, а метаматематика (своего рода наднаука над математикой).

Не говоря о детях — какая-то часть их «ухитряется пробиться» через эти и подобные математико-филологические «нескладухи», другая же зарабатывает на них стойкую аллергию к математике, — мы обращаем лишь внимание на очевидную проблему, которую никто как бы и не видит.

Толчком для настоящих заметок послужила статья А. Гурвица в газете «Математика» (№ 7/2002) под названием «Преодолимы ли заблуждения, связанные с ОДЗ». На фоне сказанного выше, разговор об ОДЗ и яйца выеденного не стоит.

В самом деле, ОДЗ появилась в школьно-математическом обиходе около сорока лет назад и как-то сразу прижилась. К аббревиатуре ОДЗ хорошо привыкли как к самостоятельному слову (как к плюсу, минусу, синусу), и дальше оно начало вести обычную для любого языка жизнь, его употребляли как метафору для обозначения сходных ассоциаций. Как раз это вполне естественно.

Другое дело, вопрос в том, как оценивать экзаменационные работы в зависимости от их оформления, и в частности, от употребления квазислова ОДЗ? С чисто юридической точки зрения никакой суд не сможет оспорить оценку, мотивированную формулировкой «Я считаю (мы считаем), что эта работа должна быть оценена на столько-то» без всяких комментариев. Так как это — мнение эксперта (экспертной комиссии). Другой эксперт может иметь другое мнение. Но не всякий специалист автоматически является экспертом. Эксперт — это лицо назначенное (потому и уполномоченное) по закону. Но ни один эксперт не может «подменять» математику. И ни один из них не может объявить неправильно решенной задачу лишь потому, что ему не нравится форма изложения ее решения. Подобное мнение может быть апеллировано хоть по инстанции, хоть по суду.

Вопрос об оформлении решений, поднятый в статье А. Гурвица, заслуживает более резких оценок. И дело даже не в том, каков вклад качества оформления в оценку работы. На наш взгляд, ритуалы и формализмы к оформлению решений — это бич Божий для школьной математики. Облегчают ли они решение задач? Ответ очевиден: конечно, нет. Ведь оформляется уже готовое решение. Это лишь создается видимость, что именно так задача и решена. На самом деле подобное оформление — лишь комфорт для проверяющего. Чему учат подобные требования к изложению? Да ничему — разве может чему-либо, кроме прилежания и чистописания, научить многократное переписывание (почти без изменений) систем вида

Какие математические навыки и знания прививаются подобными формализмами? И получается: не выписал в конце ответ — задача не решена. Не принес тетрадку — «два». Педагогика перепутывается с содержательной математикой, а результат такой мешанины — неумение многих выпускников складывать дроби.

Проведенный в статье А. Гурвица иронический анализ современных аспектов, связанных с ОДЗ, показывает, что критический потенциал отечественной математической культуры достаточно высок. Если бы всем миром по-настоящему «языком математики» заняться — много бы легче школе стало. Да пожестче за языком учебников (и программ) последить!

.