Экзаменационная работа для проведения государственной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2009 года (в новой форме) по алгебре. Демонстрационный вариант

Пояснения к демонстрационному варианту экзаменационной работы

При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2009 года следует иметь в виду, что при сохранении перечня разделов, выносимых на проверку, содержание конкретных заданий в КИМ-2009 года может быть другим. Полный перечень элементов содержания, которые могут контролироваться на экзамене, приведен в кодификаторе, помещенном на сайте www.fipi.ru. Последовательность блоков содержания в КИМ-2009 года также может варьироваться.

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику экзамена и широкой общественности составить представление о структуре будущей экзаменационной работы, числе и форме заданий, а также их уровне сложности. Приведенные критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом, включенные в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развернутого ответа.

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из двух частей. В первой части 16 заданий, во второй — 5. На выполнение всей работы отводится 4 часа. Время на выполнение первой части ограничено: на нее отводится 60 минут. При выполнении заданий первой части нужно указывать только ответы. При этом: — если к заданию приводятся варианты ответов (четыре ответа, из них верный только один), то надо обвести кружком цифру, соответствующую верному ответу; — если ответы к заданию не приводятся, то полученный ответ надо вписать в отведенном для этого месте. Если вы ошиблись при выборе ответа, то зачеркните отмеченную цифру и обведите нужную: В случае записи неверного ответа зачеркните его и запишите новый: Ответ: Все необходимые вычисления, преобразования и прочее выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нем можно проводить нужные линии, отмечать точки. Задания второй части выполняются на отдельных листах с записью хода решения. Текст задания можно не переписывать, необходимо лишь указать его номер. Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны в работе. С целью экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям. Желаем успеха!

Часть 1

1

  

Расположите в порядке возрастания числа: 0,0902; 0,09; 0,209.

1) 0,209; 0,0902; 0,09
2) 0,09; 0,0902; 0,209
3) 0,09; 0,209; 0,0902
4) 0,0902; 0,09; 0,209

2

  

Какое из чисел является рациональным?

1)      2)
3)       4) ни одно из этих чисел

3

Дневная норма потребления витамина С составляет 60 мг. Один мандарин в среднем содержит 35 мг витамина С. Сколько примерно процентов дневной нормы витамина С получил человек, съевший один мандарин?

1) 170%   2) 58%   3) 17%   4) 0,58%

4

Найдите значение выражения при  а = 8,4, b = –1,2, с = – 4,5.

Ответ: ______________________

5

  

Цена килограмма орехов a рублей. Сколько рублей надо заплатить за 300 граммов этих орехов?

1)     2) 300a (р.)
3) 0,3a (р.)         4)

6

  

В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1) 3(x – y) = 3x – y
2) (3 + x)(x – 3) = 9 – x²
3) (x – y)² = x² – y²
4) (x + 3)² = x² + 6x + 9

7

 

Упростите выражение

1) 

8

  

Найдите частное Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Ответ: ______________________

9

  

Решите уравнение 3 – 2x = 6 – 4(x + 2).

Ответ: ______________________

10

  

Прямая y = 2x пересекает параболу y = –x² + 8 в двух точках. Вычислите координаты точки А.

Ответ: ______________________

11

  

Путь от поселка до железнодорожной станции пешеход прошел за 4 ч, а велосипедист проехал за 1,5 ч. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. С какой скоростью ехал велосипедист?
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначена скорость велосипедиста (в км/ч)?

 

12

  

Решите неравенство 10x – 4(2x – 3) > 4.

13

  

На рисунке изображен график функции y = x² + 2x.
Используя график, решите неравенство x² + 2x > 0.

1) (–∞; 0)     2) (–∞; –2) (0; +∞)
3) (–2; 0)      4) (–2; +∞)

14

  

Каждой последовательности, заданной формулой n-го члена, поставьте в соответствие верное утверждение.

А) x_n = n²   Б) y_n = 2n   В) z_n = 2ⁿ 

1) Последовательность — арифметическая прогрессия
2) Последовательность — геометрическая прогрессия
3) Последовательность не является прогрессией

Ответ:

А	Б	В

 

15

 

График какой квадратичной функции изображен на рисунке?

1) y = x² + 4x – 5
2) y = –x² – 6x – 5
3) y = x² – 4x – 5
4) y = –x² + 6x – 5

16

  

Фирма начала продавать две новые модели телефонов — А и В. На графиках показано, как росло в течение года количество проданных телефонов. (По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала продаж, в месяцах; по вертикальной — число телефонов, проданных с начала продаж, в тыс. шт.). Сколько всего телефонов этих двух моделей было продано за первые десять месяцев?

Ответ: ______________________

Часть 2

Задания этой части (17–21) выполняйте с записью решения.

17

 

Постройте график функции Укажите наименьшее значение этой функции.

18

Выясните, имеет ли корни уравнение

19

  

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4.

20

  

Найдите наименьшее значение выражения (2x + y + 3)² + (3x – 2y + 8)² и значения x и y, при которых оно достигается.

21

  

Найдите все значения k, при которых прямая y = kx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условием

Ответы и решения к заданиям

Ответы на задания с кратким и развернутым ответом приводятся в одной из возможных форм. Правильный ответ учащегося, данный в какой-либо иной форме, например , вместо –1,6, необходимо засчитывать.

Ч-1

1. 2.  2. 3.  3. 2.  4. –1,6.  5. 3.  6. 4.  7. 4.  8. 0,012.  9. –2,5.  10. A(2; 4).  11. 4.  12. 3. 13. 2. 14. 312.  15. 3. 16. 800 тыс.

Ч-2

17. График изображен на рисунке; у_наим = –3.

График — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:

Наименьшее значение функции равно –3.

Замечание. Учащийся может вычислить координаты вершины параболы и другим способом.

Комментарий. В случае отсутствия вычислений в чистовике при правильном построении параболы решение должно быть засчитано.

18. Не имеет.

Представим уравнение в виде

Определим знак дискриминанта:

Так как то уравнение корней не имеет.

Замечание. Уравнение может быть представлено в виде:

учащийся может вычислить дискриминант D квадратного уравнения.

Комментарий. Ошибки в составлении выражения D₁ (или D), в применении формулы квадрата двучлена считаются существенными, и решение при их наличии не засчитывается.

19. 9600.

Пусть S — искомая сумма; S = S₁ – S₂, где S₁ — сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 160, S₂ – сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 160. Найдем S₁:

В последовательности (a_n) чисел, кратных 4 и не превосходящих 160, a₁ = 4, a_n = 160. Найдем число членов этой последовательности. Так как она задается формулой a_n = 4n, то 4n = 160, n = 40. Теперь найдем S₂:

Получим: S = S₁ – S₂ = 16180 – 8240 = 40(322 – 82) = 9600.

20. Наименьшее значение выражения равно 0, оно достигается при x = –2, y = 1.

При любых значениях х и у (2x + y + 3)² + (3x – 2y + 8)≥ 0.

Значение, равное 0, достигается только в том случае, когда 2x + y + 3 и 3x – 2y + 8 равны нулю одновременно. Составим систему уравнений

Решив ее, получим: x = –2, y = 1. Таким образом, наименьшее значение выражения равно 0,
оно достигается при x = –2, y = 1.

21.  Другие возможные формы ответа: или

Построим ломаную, заданную условиями

Прямая y = kx пересекает в трех различных точках эту ломаную, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (–3; –2), и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым
y = 2x – 8 и y = 2x + 4. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (–3; –2):

–2 = –3k,

Угловой коэффициент k прямой, параллельной прямой y = 2x – 8, равен 2. Прямая y = kx имеет с ломаной три общие точки при

Комментарий. Если график построен неправильно, или график построен правильно, но дальнейшие шаги отсутствуют, то решение не засчитывается.