Олимпиада «Ломоносов-2008»  по механике

Условия задач

1.  Сухогруз вышел из порта А и двинулся строго на запад со скоростью 10 узлов (1 узел = 1 морская миля в час). Через 10 часов он сменил направление на северное и прибыл в порт Б еще через 10 часов. На следующий день он вышел из порта Б с той же скоростью V в юго-восточном направлении, одновременно с ним из порта A на юго-запад вышел катер со скоростью U = 20 узлов. Найти минимальное расстояние h между сухогрузом и катером. Ответ записать в милях, округлив до ближайшего целого.

2.  Шар радиуса R = 0,3 м поднимается под действием силы Архимеда с большой глубины, испытывая сопротивление воды, пропорциональное скорости V движения шара: F = kρ₀πR²V, где ρ₀ — плотность воды, k = 0,2 м/с — постоянная величина. Найти минимальную высоту над поверхностью воды, на которую не может подняться шар, выпрыгнув из воды, с какой бы большой глубины он ни начал свое движение. В задача можно считать, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало, ускорение свободного падения равно g = 10 м/с², а отношение плотности материала шара r к плотности воды известно:

3.  Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен газом при комнатной температуре t₀ = 27 °С и атмосферном давлении P₀ = 10⁵  Па. Он жестко укреплен на полу. Внизу сосуда есть отверстие в форме квадрата со стороной a = 10 см, стороны которого вертикальны и горизонтальны (см. рисунок).
Брусок, лежащий на полу и совпадающий с отверстием по форме и размерам, плотно закрывает сосуд. Масса бруска m = 10 кг, толщина d = 4 см. На сколько градусов ∆t необходимо изменить температуру газа, чтобы брусок начал двигаться наружу? Коэффициент трения между бруском и полом равен μ = 0,3.

4.  Ученый в некоторый момент t₀ начал измерять величину Y, характеризующую некоторое непрерывно происходящее во времени физическое явление. В результате экспериментов он пришел к выводу, что зависимость данной величины от времени описывается выражением

Позднее, в момент времени t₀ + T, другой ученый, независимо от первого, приступил к изучению той же величины и пришел к выводу, что она меняется по закону

Оба ученых использовали верные часы и одну и ту же систему единиц измерения, а время каждый отсчитывал от начала своего эксперимента. При каких значениях T данные ученых совпадают?

5.  По двум гладким наклонным полубесконечным плоскостям KL и LM с одинаковым углом
α = 30° к горизонту запустили вверх материальные точки с одинаковой начальной скоростью. Третья точка движется равномерно по третьей плоскости KN под углом α = 30° к горизонту со скоростью V = 30 см/с в направлении точки N.

С каким интервалом времени начали движение первые две точки, если все три указанные точки дважды оказались на одной вертикали? Принять g равным 10 м/с², ответ дать в миллисекундах. Плоскость KLMN вертикальна.

6.  Диск диаметра 1 катается без проскальзывания внутри окружности диаметром 2. Найти все точки пересечения траекторий фиксированных на диске точек M и N (см. рисунок), если α = 30°. В ответ записать количество точек пересечения.

1.  126 морских миль.

Ломаная линия АРБ (АР = БР = 100) — путь, который прошел сухогруз в первый день (см. рисунок). Заметим, что по условию задачи векторы показанные на рисунке, перпендикулярны. Сделаем дополнительное построение В треугольнике БВГ тангенс угла α равен Рассмотрим движение сухогруза в системе координат, связанной с катером. Скорость относительного движения сухогруза определяется из векторного закона сложения скоростей: Тогда искомое расстояние равно длине отрезка АД. Так как в треугольнике АБД угол ДАБ равен α, то АД = БАcos α.

Таким образом, получим Оценку этого числа можно сделать, сравнив квадраты ближайших целых чисел к числу Прямая проверка показывает, что

125² = (120 + 5)² = 120² + 2 1205 + 25 = 15 625,
126² = (125 + 1)² = 125² + 21251 + 1 = 15 876,
127² = (125 + 2)² = 125² + 21252 + 4 = 16 129;

число 126 ближе всего находится к числу так как

15 876 + 126 + 0,25 = 16 002,25

2. 5 м.

Пока шар в воде, на него действуют три силы: сила тяжести

сила Архимеда

и сила сопротивления F_r = kπR²ρ₀V. В начале движения сила сопротивления практически равна нулю, и тело начинает всплывать с ускорением и продолжает ускоряться до тех пор, пока не выполнится условие F_a – F_g – F_r = 0. Отсюда найдем скорость установившегося движения

 

Теперь найдем высоту максимального подъема:

Следует заметить, что высота 5 м практически недостижима, так как скорость движения тела стремится к скорости установившегося движения асимптотически, то есть для ее достижения требуется бесконечное время.

Поэтому ответ на поставленный вопрос: 5 м.

3.  9 °С.

При увеличении температуры давление будет увеличиваться по закону Шарля: откуда найдем связь приращения температуры ∆t с приращением давления ∆P:

           (3)

Дополнительное давление ∆P создает силу давления F_P = ∆Pa². Если сила давления сравняется с силой трения скольжения: F_f = mgμ = 30 Н, то брусок начнет двигаться. Если сила давления будет меньше, чем 30 Н, то брусок не сдвинется, но может перевернуться. Возможность переворота определяется равенством моментов рассматриваемых сил во вращении вокруг точки O (см. рисунок): Отсюда получим:   Так как F_P > F_f, то брусок не может перевернуться при силе давления меньше, чем 30 Н. Это значит, что он начнет скользить при F_P = F_f = 30 Н. Тогда из (3) следует ответ: ∆t = 9 °C.

4.  

Преобразуем выражение (1) к виду

или

          (4)

Из условия задачи следует, что при искомых значениях T должно выполняться условие

Y₁(t) = Y₂(t + T).           (5)

Сравнение Y₁ и Y₂ приводит нас к мысли, что для выполнения условия (5) необходимо выполнение двух равенств — равенство оснований:

6 – sin 2t + 4cos t – 3sin t = 6 + sin 2(t + T) – 3cos (t + T) – 4sin (t + T),        (6)

и равенство показателей:

lg (17 + 8cos t – sin² t) = lg (17 – 8sin (t + T) – cos² (t + T).           (7)

Условия (6) и (7) должны выполняться для любого значения t > 0. Подставим в (7) t = 0, тогда получим для определения возможных значений T уравнение sin² T – 8sin T – 9 = 0, которое сводится к простому уравнению sin T = –1. Отсюда получим возможные значения:
Проверка показывает, что наименьшее из возможных значений T, превращающее (5) в верное тождество, равно

5.  120 мс.

Из условия задачи следует, что первые две точки движутся по наклонным плоскостям с замедлением равным a = gsin α. Рассмотрим движение всех трех точек в проекции на горизонтальную ось:

       (8)

Здесь a_x = a cos α, V_0x = V₀cos α, V₀ — начальная скорость, d — расстояние между начальными положениями первых двух точек по горизонтали, t — промежуток времени между началом движения первой и второй точки, x₀ — начальная координата третьей точки. По условию задачи, в два различных момента времени t₁ и t₂ горизонтальные координаты трех точек совпадают. Это значит, что числа t₁, t₂ являются корнями следующих уравнений:

          (9)

Из законов движения (8) следует, что каждое из уравнений (9) представляет собой квадратное уравнение. Эти два уравнения имеют одинаковые корни. Отсюда следует, что сумма этих уравнений

x₁(t) + x₂(t) = 2x₃(t),           (10)

имеет эти же корни. Подставив (8) в (10), получим квадратное уравнение с нулевым коэффициентом при старшем члене:

У линейного уравнения два различных корня может быть лишь в случае равенства нулю всех коэффициентов:

            (11)

Из первого условия (11) получим искомый результат:

6.  2.

Согласно теореме Коперника точки M и P (P — точка касания окружностей) все время находятся на диаметрах большей окружности, на которых они показаны на рисунке.

При движении точек M и P по диаметрам отрезок MP не меняет своей длины. Это значит, что треугольник MNP при движении точек M и P по соответствующим прямым OM и OP поворачивается и в какой-то момент вершина N может пересечь прямую OM. Таких пересечений всего два. Одно на луче OM, другое симметрично за точкой O.