Обобщение и систематизация знаний по теме «Квадратные уравнения»

Цель урока:

• систематизация и обобщение знаний учащихся по теме;
• развитие исследовательских умений.

Ход урока

Организационный момент

Учитель Сегодня мы завершаем изучение темы «Квадратные уравнения». Цель этого урока — вспомнить способы решения квадратных уравнений различных видов, систематизировать имеющиеся знания и самостоятельно получить некоторые дополнительные формулы, облегчающие решение квадратных уравнений в некоторых особых случаях.

Блиц-опрос

1. Какое уравнение называется квадратным?

[ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0.]

2.  Как называется выражение вида b² – 4ac?

[Дискриминант.]

3.  Сколько корней имеет квадратное уравнение при D = 0?

[Один.]

4.  Какое максимальное число корней может иметь квадратное уравнение? В каком случае?

[Два; если D > 0.]

5.  Какое квадратное уравнение называется приведенным?

[У которого a = 1.]

6.  Назовите математика, доказавшего, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

[Франсуа Виет.]

7.  Всегда ли можно применять теорему Виета?

[Нет, только когда D ³ 0.]

8.  Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

[Если числа m и n таковы, что m + n = –p, mn = q,
то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0.]

9.  Какое уравнение называется неполным квадратным?

[У которого b и/или c равны нулю.]

10.  Сколько видов неполных квадратных уравнений существует? Назовите их.

[3; ax² + bx = 0, ax² + c = 0, ax² = 0.]

11.  Какая теорема планиметрии часто используется при решении задач на составление квадратного уравнения?

[Теорема Пифагора.]

12.  Сформулируйте эту теорему.

[В прямоугольном треугольнике сумма квадратов
длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.]

Повторение

Учитель. Мы уже вспомнили имя Франсуа Виета — одного из математиков, занимавшихся изучением уравнений и их классификацией. Сейчас, вспоминая основные способы решения квадратных уравнений, мы узнаем имя другого математика, жившего в Древней Греции и посвятившего решению линейных и квадратных уравнений много времени.

На доске записаны квадратные уравнения и соответствующие им буквы. Отвечая на вопрос, вам нужно выбрать из предложенных такое уравнение, которое проще решить указанным способом, назвать букву и составить слово.

А	3x2 – 2x – 5 = 0
Д	x2 = 5
И	7x2 + 14x = 0
Н	x2 + 5x + 4 = 0
О	x2 + 4x + 4 = 0
T	x2 – 4 = 0
Ф	2x2 – 11x + 5 = 0
Е	x2 + 2x = x2 + 6

Какое уравнение удобнее решать:

— извлечением квадратных корней из обеих его частей?

[Д]

— вынесением общего множителя за скобки?

[И]

— представляя его в виде квадрата двучлена?

[О]

— используя общую формулу корней?

[Ф]

— по формуле, связанной с четностью второго коэффициента?

[А]

— по теореме, обратной теореме Виета?

[Н]

— разложением на множители по формуле разности квадратов?

[Т]

Изучение нового материала

1.  На доске записаны два уравнения:

3x² + 4x – 5 = 0 и 3x² – 4x + 5 = 0.

Выясните, имеют ли они корни.

[1-е уравнение: да, D = 76;

2-е уравнение: нет, D = –44.]

2.  В каком случае, не находя дискриминанта, можно утверждать, что уравнение имеет корни?

[Если первый и третий коэффициенты имеют противоположные знаки.]

3.  Как определить знаки корней квадратного уравнения?

[С помощью теоремы Виета.]

4.  С чего лучше начать решение следующих квадратных уравнений:

2x² + 4x – 10 = 0 и –3x² + 7x – 8 = 0?

[Разделить обе части на одно и то же число.]

5.  Решите квадратные уравнения и заполните предложенную таблицу (частично заполненные бланки выдаются учащимся, они заполняют колонки, выделенные фоном).

№	Уравнение ax2 + bx + c = 0	a	b	c	x1	x2
1	x2 + 4x + 3 = 0	1	4	3	–3	–1
2	x2 – 4x + 3 = 0	1	–4	3	3	1
3	x2 + 4x – 5 = 0	1	4	–5	–5	1
4	x2 – 4x – 5 = 0	1	–4	–5	5	–1
5	3x2 – 2x – 5 = 0	3	–2	–5		–1
6	2x2 – 5x + 3 = 0	2	–5	3		1
7	3x2 – 5x + 2 = 0	3	–5	2		1
8	2x2 – 11x + 5 = 0	2	–11	5	5
9	3x2 – x – 4 = 0	3	–1	–4		–1
10	12x2 + 13x + 1 = 0	12	13	1		–1

6.  Проанализируйте полученные результаты. Какие закономерности прослеживаются в составленной таблице? Есть ли среди представленных уравнений те, которые не удовлетворяют этим закономерностям?

Возможные результаты анализа

Наблюдение 1.  Все уравнения, кроме одного (№ 8), имеют корень 1 или –1.

Наблюдение 2.  Есть уравнения, имеющие одинаковые по модулю соответствующие коэффициенты и обладающие свойством 1.

Гипотеза 1. Возможно, наличие у уравнения корня 1 или –1 зависит от его коэффициентов.

Гипотеза 2. Пусть дано квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0. Если a + b + c = 0, то x₁ = 1 и

Гипотеза 3. Пусть дано квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0. Если a – b + c = 0, то x₁ = –1 и

Гипотезы 2 и 3 доказываются под руководством учителя.

Самостоятельная работа

Учащимся раздаются чистые листы формата А4.

А.  (1 мин) На лежащих перед вами листах в правом верхнем углу запишите свою фамилию и составьте 5 уравнений (не более чем с трехзначными коэффициентами), для решения которых применяются доказанные гипотезы. Поменяйтесь листами с соседом по парте.

Б.  (2 мин) На полученных листах запишите в нижнем правом углу свою фамилию и решите предложенные уравнения, используя гипотезу. Сдайте листы учителю.

Решение нестандартных задач

1.  Найдите ошибку в рассуждениях:

16 – 36 = 25 – 45, 4 = 5, 22 = 5.

2.  Составьте квадратное уравнение, корни которого равны

[x² – 4x + 1 = 0]

3.  Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек присутствовали на заседании?

[12]

4.  Решите древнюю индийскую задачу.

На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?

[16 или 48.]

Задание на дом

1.  Решите каждое из квадратных уравнений не менее чем двумя способами:

а) x² + x = 90;
б) –4x = 7x²;
в) 
г) x² + 4x – 5 = 0.

2.  Разность корней уравнения равна 1,5:

2x² – 5x + c = 0.

Найдите c.

3^*.  Решите уравнение двумя способами:

(x + 3)² – 2(x + 3) – 8 = 0.

Литература

1.  Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. — М.: Илекса, 2002.
2.  Отдыхаем с математикой: внеклассная работа по математике в 5–11 класса/Авт.-сост. М.А. Иченская. — Волгоград: Учитель, 2006.
3.  Перельман Я.И. Занимательная алгебра. — М.: Триада-литера, 1994.
4.  Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. — М.: Аванта+, 2004.

Алфимова А.