блок рекламы -->
Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Математика»Содержание №9/2009

Из опыта учителя В.Н. Матюковой

Более 30 лет работает в школе № 27 г. Петрозаводска Матюкова Валентина Николаевна. Работает вдумчиво, творчески, кропотливо прививая своим ученикам интерес и любовь к математике. Валентина Николаевна не только прекрасно владеет своим предметом, но еще и видит те трудности, с которыми сталкиваются ученики при изучении математики. Для преодоления этих трудностей Валентиной Николаевной разработаны многочисленные методические приемы, которые стали базой эффективной системы, помогающей ученикам освоить основы.

Почти в каждом ее выпуске есть ребята, поступающие на физико-математический факультет нашего Карельского государственного педагогического университета. Выпускников Валентины Николаевны отличает от других абитуриентов уверенное владение предметом, умение видеть данную в задаче ситуацию, хорошее «геометрическое зрение», математически грамотная речь. Поэтому хотелось бы описать некоторые методические находки, относящиеся к преподаванию начал геометрии в 7-м классе.

В первом разделе курса геометрии (Атанасян Л.С. и др.) изучаются основные понятия и их свойства. В этой главе содержится мало строгих определений (угол, биссектриса угла, середина отрезка) и поэтому незначительно число задач на доказательство и, как следствие, немного возможностей обучения доказательству, то есть самой геометрии. Основной целью изучения первого раздела Валентина Николаевна считает развитие математической речи, овладение учащимися «новым языком», а также умением наблюдать, умением читать готовый чертеж. Поэтому к имеющимся в главе учебника заданиям она добавляет задания по описанию изображенных на рисунках ситуаций. Задание так и формулируется: «Опиши ситуацию». И может быть резюмирующим в темах «Прямая и отрезок» (ситуация 1), «Луч и угол» (ситуация 2), «Измерение отрезков» (ситуация 3) и т.д.


По первому рисунку ответ может быть следующим:

На чертеже имеются три прямые m, n и p; прямые m и n пересекаются в точке C; прямые m и p — в точке A; n и p — в точке B. Точка D не принадлежит ни одной из трех прямых, точка E принадлежит прямой AC, прямая n проходит через точки A и B и т.д.

Обычно упражнение «Опиши ситуацию» выполняется одним учеником у доски. Остальные ученики слушают и дополняют ответ товарища.

Особой заботой любого учителя является обучение решению задач в теме «Признаки равенства треугольников». Для решения задач на признаки равенства треугольников Валентина Николаевна использует придуманную ею схему решения одношаговых и двухшаговых задач по готовым чертежам. Чертежи оформляются на отдельных карточках, к которым прилагаются схемы:

У Валентины Николаевны заготовлено много карточек с задачами, на которых представлены готовые чертежи и одна из приведенных схем. Большое количество карточек позволяет организовать индивидуальный подход к учащимся. При этом она дает ученикам следующие рекомендации: «Ищи три пары равных элементов. Используй для этого все, что знаешь, а знаешь ты пока немного: свойства смежных и вертикальных углов, определение биссектрисы, медианы, высоты треугольника...»

Для выделения равных скрытых элементов треугольников — общих элементов двух треугольников — учитель, называя треугольник тремя буквами, полностью обводит его рукой, возвращаясь к вершине, с которой начал обход. При этом задает вопросы: «А по какой из сторон я прошлась дважды?» (рис. 4), «Какой угол я показала дважды?» (рис. 5).

Рисунок 4

Анализу чертежа помогают вопросы: «Каким треугольникам принадлежит угол A? угол C?»; «Каким треугольника принадлежит отрезок AC?» (см. рис. 4); «Каким треугольникам принадлежат отрезки AD? AE?» (см. рис. 5) и т.д.

Выбор признака равенства треугольников при обучении решению задач в этой теме требует специального внимания. Для обучения выбору признаков Валентина Николаевна использует упражнения, в которых фигурируют все признаки и происходит систематизация знаний по теме. Задания также предлагаются по готовым чертежам (рис. 6 и 7), например, в такой формулировке:

«Найдите все возможные пары равных треугольников».

Работа по формированию умений читать чертеж, получать следствия из условия, в том числе из рисунка, продолжается и дальше. Основной вопрос, который Валентина Николаевна предлагает учащимся при фронтальном решении задач — «Что вы видите на чертеже?» Ответ ученика при этом, как правило, начинается словами: «Я вижу, что...»

Рассмотрим решение задачи (рис. 8).

1-й ученик. Я вижу вертикальные углы 1 и 4.

И записывает на доске обоснованное утверждение:

1.  1 = 4 = 40° (как вертикальные углы).

2-й ученик. Я вижу угол, вертикальный с углом 3.

Вводит обозначение и делает запись:

2.  3 = 5 = 40° (как вертикальные углы).

3-й ученик. Я вижу накрест лежащие углы 4 и 5 и они равны.

Учитель помогает оформить запись:

3.  4 = 40°,  5 = 40°, следовательно,  4 =  5.

Ученик. Я вижу, что  1 =  3.

Учитель. Вывод верный, но сможешь ли ты использовать полученное равенство?

Такой подбор многошаговых задач, фронтальная форма работы, когда несколько учащихся выполняют каждый по одной операции, позволяют выделить смысл решения — построение цепочки умозаключений. Учащиеся как бы перехватывают эстафету друг у друга, и решение задачи — построение цепочки — проявляется почти физически на глазах учащихся. И ничего трудного в этом вроде бы нет, надо только учиться смотреть и видеть. «И если у многих получается, то и я смогу» — примерно так может рассуждать ученик. Ученики, наблюдая друг за другом, понимают, что надо высказывать предположения, не боясь ошибиться, отбрасывать ненужное.

При таком подходе мысль о необходимости дополнительных построений возникает естественным образом.

– Что я вижу? — спрашивает себя ученик, гладя на рисунок (рис. 9).

И отвечает:

— Смежные углы, если продолжить лучи (рис. 10).

— Параллельные прямые и секущую, если продолжить один из отрезков.

— Я вижу треугольник, по отношению к которому угол 135° будет внешним.

Рассмотрим процесс решения всем классом еще одной задачи.

Периметр треугольника равен 74. Два внешних угла равны. Сторона AB = 16. Найти остальные стороны.

Чертеж на доске выполняется учеником (рис. 11). Этот чертеж не соответствует условию. Но учитель ученика не останавливает. Рассуждение проводится на полученном чертеже. Учитель комментирует построение чертежа:

«Пусть пока будет так, нам в задаче не сказано, какие внешние углы равны».

Далее следует вопрос учителя: «У кого есть идеи?» Учитель ждет и отмечает поднятые руки, затем подходит к каждому, кто поднял руку, и ученик шепотом сообщает свою идею.

Затем следуют предложения учащихся — шаги решения, с последующей записью:

1)  3 =  4 (как смежные с равными углами);

2) AB = AC (признак равнобедренного треугольника);

3) AB = AC = 16 (по условию);

4) BC = 74 – 162 = 42.

Но треугольник со сторонами 16, 16 и 42 не существует. В чем ошибка?

— Нужно взять другие равные внешние углы (рис. 12).

Наряду с обучением решению задач синтетическим методом (движение от условия к заключению) Валентина Николаевна знакомит своих учеников с методом восходящего анализа. Этот метод используется для получения плана решения предъявленной задачи.

Рассмотрим на примере, как учитель своими вопросами управляет процессом составления классом плана решения задачи и процессом анализа чертежа. Условие представлено на готовом чертеже (рис. 13).

Вопросы учителя:

1.  Какой угол надо найти?
2.  В каком треугольнике находится искомый угол SFT?
3. Что мы знаем про этот треугольник?
4. Что мы знаем про сумму углов прямоугольного треугольника?
5. Какой угол достаточно знать, чтобы найти угол SFT?
6. Какому углу равен угол FST?
7. В какой треугольник «заходим», используя угол SEH?
8. Что можно утверждать о треугольнике ESH?

И как подведение итога: «Проведем все наши рассуждения в обратном порядке.
С рассмотрения какого угла начнем решать задачу?»

И только после проговаривания решения в обратном порядке на доске появляется запись решения с обоснованием.

Спонсор публикации статьи курсы "Аллада". Курсы английского языка в Москве (2990 рублей в месяц). Удобное расположение, низкие цены, помощь в подборе группы и программы, бесплатное ознакомительное занятие. Узнать подробнее о курсах, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://www.allada.org/.

На примере двух последних задач четко прослеживается схема организации деятельности учеников и этапы решения задач:

1. Самостоятельное обдумывание каждым учеником предстоящего шага, для этого предоставляется время. Учитель ждет, когда значительное число учеников поднимут руки.

2. Высказывание предположений по одному шагу.

3. Обоснование принятия или непринятия суждения.

4. Запись очередного шага решения учеником или учителем со слов ученика.

Изучение нового материала, как и решение задач, проводится учащимися самостоятельно или с небольшой помощью учителя.

Рассмотрим доказательство теоремы «Неравенство треугольника».

Изучение теоремы начинается с проблемной ситуации.

— Начертите треугольник со сторонами 2, 3 и 6 см.

Задание выполнить не удается, учитель спрашивает мнение учеников, почему так случилось. Постепенно, с ошибками и исправлениями, учащиеся получают формулировку теоремы. Условие теоремы сформулировано, и учащиеся говорят, что надо сделать чертеж и записать условие и заключение. На доске появляется чертеж и краткая запись:

Учитель начинает доказательство записью первого шага:

1. На прямой AC от точки C отложим отрезок CD, равный отрезку BC.

При этом учитель добавляет, что если дана сумма сторон, то полезно ею воспользоваться как одним отрезком.

Далее все шаги ученики выполняют, отвечая на вопрос учителя: «Что вы видите на чертеже?»

2. Треугольник BCD — равнобедренный.

— Что еще видите?

3. В треугольнике BCD  1 =  2.

— Какие углы мы можем сравнить?

4.  ABD >  1.

— Почему?

Потаму что  2 =  1,  2 — часть угла ABD.

5. Какой вывод мы сделаем?

AD > AB.

— Что запишем в качестве обоснования?

— В треугольнике против большего угла лежит и большая сторона.

— Что дальше?

6. AC + BC > AC.

— Почему?

Все шаги записаны на доске учителем в целых экономии времени, но все сделано только со слов учащихся. Роль учителя сводится к минимуму. Вопросы все — мало подсказывающие. «Что видите?», «Что будете делать дальше?». Учащиеся при этом максимально внимательны и активны. Доказательство, как и решение задачи, создается по шагам, постепенно. Один ученик предлагает один шаг, следующий шаг — после некоторой паузы (пока не появится достаточно рук) — предлагает другой ученик.

Чтобы научиться решать задачи, необходимо прочное усвоение теории. Этого Валентина Николаевна добивается кропотливой и продолжительной работой. По каждой теме ею составлен так называемый опросник. В начале изучения темы каждый ученик получает вопросы, на которые надо научиться отвечать в процессе изучения темы.

Пример опросника по теме «Треугольник»

1. Определение треугольника.

2. Виды треугольников в зависимости от соотношения между сторонами.

3. Виды треугольников в зависимости от соотношения между углами.

4. В равных треугольниках против равных углов лежат...

5. В равных треугольниках против равных сторон лежат...

6. Первый признак равенства треугольников.

7. Второй признак равенства треугольников.

8. Третий признак равенства треугольников.

9. Определение медианы треугольника.

10. Определение высоты треугольника.

11. Определение биссектрисы треугольника.

12. Определение равнобедренного треугольника.

13. Свойство углов равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника.

14. Свойство медианы, биссектрисы, высоты равнобедренного треугольника.

15. Признак равнобедренного треугольника.

Как и с какой целью используется опросник? Валентина Николаевна справедливо полагает, что недостаточно понимать формулировки определений и теорем. Чтобы узнавать их в разных ситуациях, необходимо их твердо знать. Она требует, чтобы формулировки опросника были выучены каждым учеником. Чтобы заговорить на новом, незнакомом языке, необходимо слова языка заучить.

Класс Валентины Николаевны разбит на три группы по уровням обученности — по итогам успеваемости на данный момент: первая группа — обучающиеся на «4» и «5», вторая — на «4», третья — на «3». Группы примерно равны по количеству. Когда учитель опрашивает третью группу учащихся, остальные решают сложные задачи.

Когда учитель работает по опросникам с первой группой, учащиеся третьей работают в тетради с печатной основой.

С помощью опросников осуществляется и взаимный опрос при работе в парах. Проверяющий оценивает отвечающего. Критерии оценивания сообщаются заранее. По опроснику консультанты (таковых в классе ) опрашивают каждого из двух своих подопечных и сообщают о результатах учителю.

С появлением опросников по новым темам, работа по старым не прекращается. Как только учитель замечает, что учащиеся затрудняются вспомнить ту или иную формулировку, работа по опросникам предыдущих тем возобновляется.

За год по предмету накапливается в среднем четыре опросника. Учитель в праве объявить, что на следующем уроке — работа с опросниками, и не указать при этом, по какой теме. Твердое знание учениками теории позволяет уделять основное внимание решению задач, а не воспроизведению забытого, осуществлять принцип непрерывного повторения материала, включать в работу задания по всем ранее изученным темам.

1.

120°

4.  

BAF = 60°,
DCF = 90°
 CDF — ?

 

30°

7.

     KPM =3MPN
       MPN — ?

45°

2.

78°

5.

 ACB = 90°,
 AHM = 90°,
 AMH = 55°
 MBC — ?

20°

8.

 2 –  1 = 20°
 1 — ?

80°

3.

 ACD = 90°
PABD — ?

10

6.

 AB = 0,8AC,
P
= 7,8
AB  — ?

2,4

9.

 ADB = 90°
 ABD — ?

35°

Опросники собраны у учащихся в одной тетради, которая называется «Тетрадь по теории». Эту тетрадь каждый ученик ведет с начала изучения курса и до его окончания. В тетради содержатся ответы на все задаваемые вопросы. Эта тетрадь заполняется учащимися в классе или дома в качестве очередного домашнего задания. Выполнение такого домашнего задания, как и прочих, проверяется консультантами.

Одной из форм организации решения задач является задание «Собери картинку».

Каждому решающему предъявляются девять задач с готовыми чертежами. Условия задач записаны на прямоугольниках большого размера, а ответы к ним — на прямоугольникам меньшего размера. Каждый прямоугольник с условием имеет номер. Согласно этим номерам большие прямоугольники раскладываются на какое-то плотное основание (например, на тетрадь). Рядом укладываются прямоугольники малого размера с ответом. Когда ученик считает, что решил все задачи, он подзывает учителя, накладывает лист бумаги на все прямоугольники и переворачивает картинку одним движением. Учитель может мгновенно оценить правильность решения задач, так как если ответы выбраны верно, то на обратной стороне складывается рисунок.

Благодаря разработанной Валентиной Николаевной методике ее ученики говорят на геометрическом языке уже в первом полугодии. «Говорят» — это значит, что понимают, в чем состоит смысл доказательства, что каждый шаг решения задачи требует обоснования, то есть дают себе отчет о своих умственных действиях.

Виноградова Л.