Исследуем функции с помощью калькулятора
Как показывает опыт учителей, участвующих в проекте «Школьный калькулятор», применение калькулятора на уроке оказывает на учащихся положительное эмоциональное воздействие, повышает интерес к предмету. Рассмотрим примеры задач, которые имеет смысл включать в упражнения, предлагаемые при изучении алгебры и начал анализа (при решении задач расчеты и графические построения выполнены с помощью калькулятора CASIO fx-9860G SD).
Степенная функция
- Функция y = xn, где п — натуральное число и п ≥ 2.
Рекомендуем рассмотреть упражнения, связанные с вычислением значений функции y = xn, построением ее графика и решением по графику уравнений вида xn = а.
- Например, построим с помощью калькулятора график функции у = х7 для х > 0.
Сначала найдем координаты нескольких точек графика:
В тетради на координатной плоскости отметим точки
Выведем на экран график функции у = х6. Он может быть с достаточно высокой точностью перенесен в тетрадь. Точки для х > 0 отмечаются в тетради на координатной плоскости, а поскольку функция у = х6 — четная, то отмечаются и точки, симметричные им относительно оси у.
В режиме TRACE учащиеся смогут определить значения функции для нескольких значений х и наоборот, то есть решить графически уравнения вида xn = а.
Отметим, что степенные зависимости более высокого порядка (чем линейные и квадратичные) нередко встречаются на практике. Рассмотрим пример.
- Задайте формулой массу шарика (деревянного или стеклянного) и рассмотрите график изменения его массы в зависимости от изменения его радиуса.
Масса шара является кубической функцией его радиуса:
Плотность дерева — 0,6 г/см3,
а стекла — 2,4 г/см3. Следовательно, масса деревянного шарика
вычисляется по формуле 
а масса стеклянного — по формуле 
Так выглядит график
изменения массы деревянного шарика в зависимости от изменения радиуса R,
например, от 0,4 до 5 см:
Теперь можно снимать нужные показания, используя работу калькулятора в разных его режимах.
- Функция y = x–n, где п — натуральное число.
В данном случае мы получаем функцию 
Рассмотрим ее график при
четном и нечетном п. Для иллюстрации привлечем калькулятор и выполним
построения в динамическом режиме для п от –1 до –6 с шагом 1:
- Функция
где п —
натуральное число.
Важную роль приобретают графики для выяснения вопроса о существовании корня n–й степени из числа.
1. Если n — нечетное число, то любое число может быть
значением функции y = xn. Зависимость х от у
обозначают так: 
— или, переходя к обычным обозначениям, так: 
Построим в одной системе координат графики функций 
и y
= x5.
Поступим, например, следующим образом: преобразуем 
а
поскольку в графическом режиме возможна только линейная запись, то введем
последнее выражение в виде:
Построенные графики симметричны относительно прямой у = х.
2. Если n — четное число, то функция y = xn
не является монотонной на области определения, и область ее есть множество [0; +¥).
Построим в одной системе координат графики функций
y = x4 и 
График функции симметричен относительно прямой у = х для правой ветви графика y = x4 (расположенной в первой координатной четверти).
- Предложим учащимся построить графики более сложных функций из учебника и сравнить свой эскиз с изображением графика на экране калькулятора.
.
.
Показательная функция
В учебнике [1] предлагается выполнить построение графиков
функций y = 2x и 
на отрезке [–2; 3] с шагом 
а затем с
шагом 
Мы же, применяя калькулятор, можем этот процесс построений продолжить,
выполняя их с шагом 
на калькуляторе.
Для функции y = 2x имеем:
Точно так же можно провести исследование функции 
Продолжая исследования показательной функции у = ах, построим в одной и той же координатной плоскости несколько графиков, изменяя значения основания а. Так организованное сопоставление поможет лучшему усвоению, а в дальнейшем и применению свойств показательной функции.
Отмечаем:
— область определения — множество всех действительных чисел;
— монотонность: при
а > 1 функция у = ах
строго возрастает; при 0 < а < 1 функция у = ах
строго убывает;
— положительность: значения функции
у = ах
положительны при любом основании
а > 0;
— множество значений — множество всех положительных чисел.
Выполним с калькулятором упражнение № 45 из учебника [1].
- Вычислите с точностью до 0,1 (пользуясь таблицами или калькулятором) значения степени 10.
а) 101,41 ≈ 25,7; 101,42 ≈ 26,3:
б) 101,414 ≈ 25,9; 101,415 ≈ 26,0:
в) 102,23 ≈ 169,8; 102,24 ≈ 173,8:
Перед выполнением дальнейших упражнений, предлагаемых учебником, полезно построить в тетради и сравнить с изображением на экране калькулятора графики функций:
а) y = 2x + 1 и y = 2x + 1:
б) y = 2x – 1 и y = | 2x – 1 |:
в) y = 2| x | и y = 2| x | – 2:
Число е
Следуя изложению соответствующего материала в учебнике [2, с.
116], рассмотрим переменную 
где п = 1, 2, 3,... Переменная un
имеет предел. Этот предел называют числом е:
е = 2,718281828459045...
Постараемся экспериментально определить несколько знаков числа е, вычисляя значения членов последовательности un при п от 1 до 250, что нам позволяет табличный режим калькулятора:
Заметим, что при п = 75 получается 2,7003, то есть два знака числа е; при п = 166 получается 2,7101, то есть три знака числа е.
Далее поступим иначе — проведем расчеты непосредственно в режиме вычислений при п, равном 100, 1000, 10000 и т.д. (отметим, что можно использовать любую букву, например х). Теперь мы получим девять знаков числа е:
В учебнике [2, с. 119] также отмечается, что равенство
справедливо и тогда, когда п стремится к +∞,
пробегая любые числовые значения, необязательно натуральные. Проиллюстрируем
этот факт графически следующим образом:
И, наконец, сообщим учащимся интересный и важный факт, связанный с рассмотрением показательной функции по основанию е.
Сначала напомним, что графики показательных функций при различных значениях а проходят через точку (0; 1):
Если в этой точке к графику провести касательную, то чем больше основание а, тем «круче» касательная. Известно, что при а = 2 угловой коэффициент касательной равен примерно 0,7, а при а = 10 — примерно 2,3.
Понятно, что при непрерывном изменении а от 2 до 10 угловой коэффициент касательной в точке (0; 1) будет непрерывно меняться и найдется такое значение а, при котором этот коэффициент будет равен 1. Такое основание обозначается буквой е.
Привлечем калькулятор к анализу данного факта. Рассмотрим графики функций
y = 2x, y = 10x и y = еx
относительно прямой y = x + 1. Для этого воспользуемся режимом ВОХ:
Мы видим, что графики функций y = 2x, y = 10x пересекают прямую y = x + 1. При приближении к точке (0; 1) график функции y = еx остается выше прямой y = x + 1 и имеет с ней единственную общую точку (0; 1):
Логарифмическая функция
С помощью калькулятора можно вычислять логарифмы по любому
основанию а
Так как определение логарифмов основано на понятии степени, то при исследовании логарифмической функции используют свойства показательной функции.
Отмечаем:
— область определения — множество всех положительных чисел;
— монотонность: при а > 1 логарифмическая функция
строго возрастает; при 0 < а < 1 логарифмическая функция строго убывает;
— область значений — множество всех действительных чисел.
Построим в одной и той же координатной плоскости графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание. С помощью курсора покажем, что графики симметричны относительно прямой у = х.
Сначала рассмотрим поведение функций при а > 1.
При а = 10 имеем:
Теперь рассмотрим поведение функций при 0 < а < 1.
При а = 0,5 воспользуемся формулой перехода от одного
основания логарифма к другому основанию: 
Имеем:
Литература
1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10–11 кл. общеобраз.
учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; под ред. А.Н.
Колмогорова. — М.: Просвещение, 2006.
2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобраз.
учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. — М.:
Просвещение, 2003.