Тема урока: «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Девизом нашего урока будут слова русского математика В.П. Ермакова: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления».

Ход урока

Постановка проблемы

На доске — портрет Гаусса. Учитель или ученик, которому заранее было дано задание подготовить сообщение, рассказывает, что когда Гаусс учился в школе, учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.

Вопрос. Как Гаусс получил ответ?

Поиск путей решения

Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1 + 100, 2 + 99 и т.д. равны, Гаусс умножил 101 на 50, то есть на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

Записать на доске и в тетрадях тему урока. Ученики вместе с учителем записывают вывод формулы:

Пусть a₁; a₂; a₃; a₄; ...; a_n – 2; a_n – 1; a_n — арифметическая прогрессия.

Первичное закрепление

1. Решим, используя формулу (1), задачу Гаусса:

2.  Используя формулу (1), устно решить задачи (их условия записаны на доске или кодопозитиве), (a_n) — арифметическая прогрессия:

а) a₁ = 2, a₁₀ = 20. S₁₀ — ? [110]

б) a₁ = –5, a₇ = 1. S₇ — ? [–14]

в) a₁ = –2, a₆ = –17. S₆ — ? [–57]

г) a₁ = –5, a₁₁ = 5. S₁₁ — ? [0]

3. Выполнить задание.

Дано: (a_n) — арифметическая прогрессия;

a₁ = 3, a₆₀ = 57.

Найти: S₆₀.

Решение. Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии

;

Ответ: 1800.

Дополнительный вопрос. Сколько типов различных задач можно решить по этой формуле?

Ответ. Четыре типа задач:

— найти сумму S_n;

— найти первый член арифметической прогрессии a₁;

— найти n-й член арифметической прогрессии a_n;

— найти количество членов арифметической прогрессии.

4.  Выполнить задание: № 369(б).

Найдите сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии (a_n), если a₁ = –10,5, a₆₀ = 51,5.

Решение.

Ответ: 1230.

Дополнительный вопрос. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Ответ: a_n = a₁ + d(n – 1).

5. Вычислите формулу девяти первых членов арифметической прогрессии (b_n),
если b₁ = –17, d = 6.

— Можно ли вычислить сразу, используя формулу?

— Нет, так как неизвестен девятый член.

— Как его найти?

— По формуле n-го члена арифметической прогрессии.

Решение. b₉ = b₁ + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Ответ: 63.

Вопрос. А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?

Постановка проблемы

Проблема: получить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, зная ее первый член и разность d.

(Вывод формулы у доски учеником.)

Решим № 371(а) по новой формуле (2):

Устно закрепим формулы (2) (условия задач записаны на доске).

(a_n) — арифметическая прогрессия.

1. a₁ = 3, d = 4. S₄ — ? [36]

2. a₁ = 2, d = –5. S₃ — ? [–9]

Выяснить у учащихся, какие вопросы непонятны.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Дано: (a_n) — арифметическая прогрессия.

1. a₁ = –3, a₆ = 21. S₆ — ? [54]

2. a₁ = 6, d = –3. S₄ — ? [6]

Вариант 2

Дано: (a_n) — арифметическая прогрессия.

1. a₁ = 2, a₈ = –23. S₈ — ? [–84]

2. a₁ = –7, d = 4. S₅ — ? [5]

Ученики меняются тетрадями и проверяют решения друг у друга.

Подвести итог усвоения материала по результатам самостоятельной работы.

Ульянова Т.