Основные приемы нахождения площадей многоугольников

Цели урока :

— закрепление понятия площади;

— знакомство с новыми приемами нахождения площадей многоугольных фигур.

Ход урока

Устная работа

Четыре ученика решают у доски задания по карточкам:

1. 20·14·5.
2. 6000·150
3. 14 : 2 + 38 : 2 – 27.
4. 15 : 8·8.
5. 1·2·3·4·5·6·7·8·9·0.
6. 444 444 : 44.
7. –3 – 5 + 6.

Остальные выполняют № 124 (устно):

В качестве ответа учащиеся должны вычислить сумму получившихся четырех чисел. [138]

Изучение нового материала. Решение задач

Существует три основных приема нахождения площадей многоугольных фигур:

1. Разбиение на простые части.

2. Дополнение до прямоугольника.

3. Наложение.

На трех примерах покажем данные приемы.

Пример 1. 1-й прием. Шестиугольник ABCDEF можно разбить на треугольники AKF, BNC, NCD, EFP и прямоугольник KBDP. Площадь каждого треугольника равна 2 клеточкам, а площадь прямоугольника KBDP — 4. Отсюда площадь искомого треугольника

S_ABCDEF = 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12.

2-й прием. Выбираем минимальный прямоугольник, внутри которого содержится данный шестиугольник. В нашем случае это прямоугольник ARSE, значит,

S_ABCDEF = S_ARSE – S_AZF – S_EZF – S_BRC – S_DCS =

= S_ARSE – 4S_AZF = 4·5 – 4·2 = 20 – 8 = 12.

3-й прием. Треугольник BCD совмещаем с треугольником EAF (параллельный перенос на 3 клетки влево). Шестиугольник превратился в равновеликий прямоугольник, площадь которого равна 3·4 = 12.

Учащиеся должны сами сказать, какой из этих способов оказался лучшим. В данном случае — третий. Но всегда ли он лучший?

Пример 2. Метод наложения здесь, в принципе, ни к чему не приводит.

Можно решать методом дополнения:

S = S_APLH – S_BPDC – S_EFGL = 6·4 – 2 – 3·2 = 24 – 2 – 6 = 16.

Но наиболее простым будет способ разбиения:

S = S_ABGH + S_CDEF = 6·2 + 2·2 = 12 + 4 = 16.

Осталось привести пример, где наиболее простым будет способ дополнения.

Пример 3. Здесь можно разбить четырехугольник на прямоугольник и два треугольника, но площади треугольников найти крайне сложно. Зато

S_ABCD = S_FBED – S_AFD – S_CED = 3·4 – 2 – 1,5 = 9 – 3 = 6.

И в заключение рассмотрим пример, где лучше всего применить сразу два приема.

Пример 4. Наложим треугольники DEF и PCB. Найдем разность площади квадрата APDS и площади прямоугольника HGFS:

S = 4·4 – 2 = 14.

Учащиеся должны сделать вывод о том, что выбор способа решения задачи на нахождение площади многоугольника зависит от формы данного многоугольника.

Примечание. Линии (клеточное разбиение) рисуются на доске белым мелом, а фигуры — цветным.

Решение задач по учебнику

Учебник Н.Я. Виленкина и др. «Математика, 5». № 726, 737, 749, 751. Номера задач сразу пишутся на доске для тех, кто будет решать быстрее.

Указания:

1. № 726 — устно. Обращается внимание на то, что № 726 (б) можно решить только методом наложения.

2. № 737 (а, б) и 749 (а–г) решают учащиеся у доски. Обращается внимание на два момента:

сначала учащиеся должны составить план решения задачи, основанный на выборе одного из трех методов, только потом решать;

обращать внимание на то, в каких единицах пишется ответ.

3. Предполагается, что № 749 (д) и 751 успевают сделать только сильные учащиеся.

В конце урока выставляются отметки за устный счет и решение наиболее сложных задач у доски, дается домашнее задание.

Павлов С.