Задачи с параметрами

Пояснительная записка

Элективный курс предлагается к изучению в 10–11-х классах. Курс предполагает углубление, расширение знаний и умений учащихся по алгебре. Материал курса может изучаться учащимися физико-математического и социально-экономического профилей, где математика является профильным предметом.
Темы, рассматриваемые в данном курсе, либо не включены в образовательную программу средней школы, либо им уделяется очень мало внимания. Однако задачи с параметрами встречаются почти во всех вариантах вступительных экзаменов в вузы. Задачи с параметрами играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, и именно эти задачи представляют для учащихся и абитуриентов наибольшую сложность. Задачи с параметрами, как правило, являются хорошим материалом для проведения различного рода исследований, а значит, демонстрации владения учащимися навыками рассуждения, анализа, доказательства. Практика показывает, что учащиеся, умеющие решать задачи с параметрами, успешно справляются и с другими видами заданий.
На вступительных экзаменах в высшие учебные заведения в основном встречаются два типа задач с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям». Разбору такого типа задач посвящен основной объем элективного курса.
В данном курсе решение задач рассматривается как главное средство изучения математики, причем решение той или иной задачи помогает глубже заглянуть в теоретический материал.
Элективный курс включает изучение основных принципов и ключевых методов решения задач с параметрами.
Цель курса: расширение знаний учащихся по одному из главных вопросов математики — решению уравнений и неравенств с параметрами, подготовка учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.
Задачи курса:
— актуализация и систематизация знаний учащихся по темам «Уравнения» и «Неравенства»;
— обучение учащихся методам решения задач с параметрами;
— привлечение учащихся к исследовательской и проектной деятельности.
Курс рассчитан на 20 учебных часов. Формы организации занятий — практикумы по решению задач, исследовательские работы, лабораторные работы, семинары.
Результатом изучения является освоение учащимися содержания курса: овладение умениями и навыками решения задач с параметрами.

Учебно-тематическое планирование

№ п/п	Тема	Количество часов	Формы организации занятий
1	Решение линейных уравнений и неравенств, содержащих параметр	2	Вводная беседа, занятие-обсуждение: разбор приемов решения уравнений и неравенств
2	Аналитические приемы решения задач с параметрами	3	Беседа, практикум, самостоятельная работа
3	Задачи с параметром, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена	2	Практикум, работа в парах
4	Графически-аналитический способ решения задач с параметром	4	Практикум, исследовательская работа, лабораторная работа
5	Использование симметрии аналитических выражений	3	Практикум, занятие-обсуждение
6	Решение показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств, содержащих параметр. Решение конкурсных задач для поступающих в вузы	5	Практикум, работа в группах, контрольная работа
7	Итоговое занятие	1	Семинар

Методические рекомендации

При разборе решений первых заданий необходимо повторить определения уравнения, неравенства, решения уравнения (неравенства), в том числе и с параметром. Особенное внимание следует обратить на запись ответа, оговаривая, что необходимо отразить все рассматриваемые в решении ситуации.
Использование разного рода геометрических интерпретаций при анализе задач с параметрами зачастую позволяет существенно упростить этот анализ, а в ряде случаев представляет собой единственный «ключ» к решению задач.
Рассматриваются примеры, которые могут быть решены как аналитически, так и с помощью графических приемов. Например, при каких значениях параметра а система уравнений

имеет единственное решение?
Для исследования многих задач с параметрами может использоваться метод областей.
При решении задач с использованием симметрии рассматриваются задания, объединенные по двум признакам: 1) в каждой задаче имеется аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет или ось симметрии, или плоскость симметрии (например, выражения вида x + y = 0
или xy = 0), 2) во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения.
Многие задачи повышенной сложности могут быть проанализированы и решены с помощью оценок левой и правой частей, входящих в уравнения или неравенства иррациональных или тригонометрических выражений. Применение метода оценок будет успешным, если учащиеся умеют находить наибольшие и наименьшие значения элементарных функций. (Например, cos x = 1 + x².)
Задачи, предлагаемые учащимся, представляют определенную сложность, поэтому самостоятельность решения заданий учащимися должна поощряться учителем.
В качестве контроля учащимся предлагаются исследовательские и контрольные работы, в которые обязательно включаются задания вступительных экзаменов в вуз; проводятся различные письменные самостоятельные работы; важной формой анализа успешности освоения содержания курса учащимися является наблюдение за деятельностью старшеклассников на учебных занятиях.

Литература

1. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ, 10–11 класс. — М.: Просвещение, 2000.
2. Галицкий М.Л. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. — М.: Просвещение, 2002.
3. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. — М.: Наука, 1987.
4. Зив Б.Г. Задачи по алгебре и началам анализа. — СПб.: ЧЕВО-на-НЕВЕ, 2003.
5. Черкасов О.Ю. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. — М.: Дрофа, 2004.