Факультативный курс «Линейные уравнения и неравенства с параметрами»

Окончание. Начало в № 1, 2

Занятие № 12 Решение линейных неравенств с одной переменной

Рассмотрение данной темы следует начинать с краткого повторения решения линейных неравенств с одной переменной.

Упражнение 1. Решите линейное неравенство:

а) 2x > 22; б) –5x ≥ 30;
в) –0,1x ≤ 4; г) 0∙x < 5;
д) 0∙x > 0; е) 0∙x ≤ 0;
ж) 0∙x ≥ –3; з) 2x – 4 > 5 – x;
и)   к)
л)  м) 3 – 2x < x – 3.
Упражнение 2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корень уравнения   — отрицательное число.

Упражнение 3. При каких значениях параметра a каждое решение неравенства
(3x + 1)2 – 3 ≥ 9x(x + 2) – a
является решением неравенства
3x + a ≤ 2x + 1?
Решение. Решим первое неравенство:
9x2 + 6x + 1 – 3 ≥ 9x2 + 18x – a, 12x ≤ a – 2,
Решим второе неравенство: x ≤ 1 – a. Чтобы каждое решение первого неравенства являлось решением второго, необходимо, чтобы

Отсюда: a – 2 ≤ 12 – 12a,
Ответ: при

Упражнение 4. При каких значениях параметра a хотя бы одно решение неравенства

будет являться решением неравенства 3 – 0,5x > a?
Решение. Решив первое неравенство относительно x, получим: 8x – 8a – 12a – 12x ≤ 96,
x ≥ –5a – 24. Решив второе неравенство относительно x, получим: x < 6 – 2a. Для того, чтобы хотя бы одно решение первого неравенства являлось решением второго, необходимо, чтобы 6 – 2a >–5a – 24. Откуда a > –10.
Ответ: при a > –10.

Далее разберем алгоритм решения линейных неравенств с параметрами:
1) решение линейных неравенств с одной переменной и положительным коэффициентом при этой переменной;
2) решение линейных неравенств с одной переменной и отрицательным коэффициентом при этой переменной;
3) решение неравенств с коэффициентом, равным нулю. Данный момент требует особенно пристального рассмотрения. Результат разбора полезно записать в виде таблицы.

Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной

Упражнение 5. Решите неравенство
(a – 1)x ≤ a2 – 1
относительно переменной x.

Решение. Рассмотрим три случая.
1. a – 1 = 0. Тогда неравенство примет вид 0∙x ≤ 0, и его решением является любое значение переменной x.
2. a – 1 > 0. Тогда (a – 1)x ≤ a2 – 1 ⇔ x ≤ a + 1.
3. a – 1 < 0. Тогда (a – 1)x ≤ a2 – 1 ⇔ x ≥ a + 1.

Ответ: при a = 1 x ∈ R;
при a > 1 x ≤ a + 1;
при a < 1 x ≥ a + 1.

Упражнение 6. Решите неравенство
(a – 1)2x ≤ a2 – 1
относительно переменной x.

Задание на дом
1. Решите неравенство (a – 2)x > a2 – 4 относительно переменной x.
2. При каких значениях параметра a каждое решение неравенства 0,3x – 6 < a:
а) принадлежит промежутку (–∞; 2);
б) решением неравенства является промежуток (–∞; 2)?
3. При каких значениях параметра a множество решений неравенства 0,3x – 6 < a содержит ровно 5 натуральных чисел?

Занятие № 13 Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Упражнение 1. Решите систему неравенств:

Упражнение 2. Найдите целые решения системы неравенств

Упражнение 3. При каких значениях параметра a множество решений системы содержит ровно 5 целых решений?

Решение. Решив первое неравенство, получим: x > –2,8. Целые решения данного неравенства: –2; –1; 0; 1; 2... Решив второе неравенство, получим x < 0,5a. Чтобы система имела ровно пять целых решений, необходимо, чтобы 0,5a > 2, то есть a > 4. С другой стороны, a не может быть больше 6 (полезно оговорить случай, когда 0,5a = 3), так как тогда система будет иметь более пяти целых решений. Значит, 0,5a ≤ 3, то есть a ≤ 6.

Ответ: при 4 < a ≤ 6 система имеет пять целых решений.

Упражнение 4. При каких значениях параметра a система не будет иметь решений?
Решение. Решая первое неравенство, получим: Решая второе неравенство, получим:
x > 1 – a. Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы (случай обсудить отдельно). Из последнего неравенства следует: a ≤ –0,2.

Ответ: при a ≤ –0,2 система не имеет решений.

Упражнение 5. При каких значениях параметра a решением системы уравнений является пара положительных значений x и y?

Решение. Решая систему способом сложения, получим:

откуда

так как x > 0 и y > 0, то получим систему неравенств

Отсюда a > 3.

Ответ: при a > 3 решением системы является пара положительных чисел.

Упражнение 6. При каких значениях параметра b корень уравнения 6 – 3b + 4bx = 4b + 12x меньше 1?

Решение. 6 – 3b + 4bx = 4b + 12x,
(4b – 12)x = 7b – 6.
Если b = 3, то уравнение примет вид 0∙x = 15 и не будет иметь корней.
Если b ≠ 3, то
По условию Тогда
Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Поэтому
Решив обе системы, получим: –2 < b < 3.

Ответ: при b ∈ (–2; 3) корень уравнения меньше 1.

Упражнение 7. Решите систему неравенств

Решение. Решая первое неравенство системы, получим: (a – 1)x ≤ 1.
Если a – 1 < 0, то  — число отрицательное, и система имеет решения x > 2.
Если a – 1 = 0, то решения первого неравенства — x ∈ R, а решения системы — x > 2.
Если a – 1 > 0, то Здесь возможны три случая: или Рассмотрим эти случаи.
1. Пусть тогда откуда
Имеем: 1 < a < 1,5, и решения системы
2. Пусть тогда a = 1,5, но система при этом не имеет решений.
3. Пусть тогда откуда
Вторая система не удовлетворяет условию, что a – 1 > 0. Решением первой системы является неравенство a > 1,5. В этом случае система также не имеет решений.

Ответ: при a ≤ 1 x > 2;
при 1 < a ≤ 1,5
при a ≥ 1,5 — нет решений.

Задание на дом

1. При каких значениях параметра a система неравенств будет иметь решение?
2. При каких значениях параметра m система неравенств имеет ровно три целых решения?
3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:
а) | x | < 3; б) | y | < 2;
в) | x | < 3 и | y | < 2.

Занятие № 14 Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Неравенство вида F(x; y) ∨ 0 называется неравенством с двумя переменными x и y. Решением данного неравенства является множество упорядоченных пар чисел (x; y), обращающих неравенство в верное числовое неравенство.

Упражнение 1. Являются ли пары чисел (1; 0), (–3; 1), (0; 3), (8; 4) решениями неравенства
4x – 2y + 6 ≥ 0?
Решить неравенство F(x; y) ∨ 0 в большинстве случаев можно лишь графически, указав геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих неравенству. Если уравнение F(x; y) = 0 определяет лишь некоторую линию, то множество точек плоскости, не лежащих на этой кривой, состоит из некоторого числа областей G1, G2, ..., Gn, на которые данная кривая разбивает плоскость. В каждой точке этих областей выражение F(x; y) определено и либо положительно, либо отрицательно.

Упражнение 2. F — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству x2 + y2 < 13. Принадлежат ли множеству F точки:

а) A(–1; 0); в) C(2; 3);

б) B(5; –1); г) E(3; 0)?

Упражнение 3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) y ≥ 2| x | – 2; б) (x – 1)(y + 2) ≥ 0;
в) x2 – 4y2 ≤ 0.

Решение. а) График уравнения y = 2| x | – 2 разбивает плоскость на две области. Возьмем «контрольную» точку, чтобы определить, в какой из областей выполняется неравенство. Например, при подстановке координат точки A(0; 0) в неравенство получаем: 0 > 2| 0 | – 2, что верно. Значит, точка A лежит в нужной нам области.

б) Графиком уравнения являются пересекающиеся прямые x = 1 и y = –2. Используя контрольные точки, проверим, какие из областей изображают решение неравенства.

A(0; 0): (0 – 1)(0 + 2) ≥ 0 — неверно;
B(2; 2): (2 – 1)(2 + 2) ≥ 0 — верно;
C(3; – 3): (3 –1)(–3 + 2) ≥ 0 — неверно;
E(–3; –3): (–3 – 1)(–3 + 2) ≥ 0  — верно.
Простейшей линией на плоскости является прямая, разбивающая плоскость на две полуплоскости. Ордината любой точки верхней полуплоскости больше ординаты соответствующей ей точки прямой y = kx + b. В этой полуплоскости выполняется неравенство y > kx + b. В полуплоскости, расположенной ниже прямой y = kx + b, выполняется неравенство y < kx + b.

Упражнение 4. Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) y ≥ 2x – 2; б) y ≤ x + 2;
в) 2y + 2x – 3 ≤ 0.

Упражнение 5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Упражнение 6. Постройте треугольник, задаваемый системой неравенств

Найдите координаты его вершин.
Решение. Точка A — точка пересечения прямых y = 2x – 3 и y = x + 1. Для нахождения координат точки A составим и решим систему уравнений.
Для точки A: Точка A(4; 5).
Для точки B: Точка B(2; 1).
Для точки C: Точка C(–0,5; 0,5).

Упражнение 7. При каких значениях параметра k система неравенств задает на координатной плоскости треугольник?

Упражнение 8. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?

Решение. Пусть в первом ящике x деталей, а во втором — y (заметим, что x и y по смыслу задачи — натуральные числа). Составим систему неравенств по условию задачи:

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы. Заметим, что в полученной области только одна точка имеет целочисленные координаты. Значит, x = 24, y = 7.

Ответ: 24 детали в первом, 7 деталей во втором ящике.

Задание на дом
1. Изобразите множество точек координатной плоскости, принадлежащих семейству прямых, заданных уравнениями y = (a2 + 1)x.
2. Найдите целочисленные решения системы неравенств

3. Решите неравенство x(x – a) < 0.

Занятие № 15 Решение неравенств с параметрами. Плоскость Oxa

Упражнение 1. Найдите площадь треугольника, который задает система неравенств

Упражнение 2. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы

Дальнейшим углублением в тему «Неравенства с двумя переменными» будет рассмотрение неравенств вида F(x; a) ∨ 0, где графики будут строиться в системе координат Oxa. На примере неравенства 3 из домашнего задания рассмотрим аналитический и графический способы решения неравенства. Еще раз обратим внимание учащихся на то, что графический способ удобен, если можно построить график соответствующего уравнения.

Упражнение 3. Решите неравенство x(x – a) < 0.

Решение. Способ I (аналитический). Произведение двух множителей отрицательно, если множители имеют разные знаки, отсюда получаем:

Если a — число отрицательное, то решение первой системы — промежуток (a; 0), решение второй системы — пустое множество.
Если a — положительное число, то решение первой системы — пустое множество, а решение второй — промежуток (0; a).
Если a = 0, то неравенство примет вид x2 < 0 и решений не имеет.

Способ II (графический). Изобразим решение неравенства в системе координат Oxa. Проведем произвольную прямую a = α, она пересечет заштрихованную часть. Соответствующие значения x и будут являться решением неравенства. По графику нетрудно определить, что при a < 0 решением является x ∈ (a; 0), при a = 0 x ∈ , при a > 0 x ∈ (0; a).

Ответ: при a < 0 x ∈ (a; 0);
при a = 0 x ∈ ;
при a > 0 x ∈ (0; a).
Далее учащиеся самостоятельно решают упражнение 4.

Упражнение 4. Решите неравенство:
а) (x – 2a)(x – a) < 0;
б) a2 – x2 ≥ (x + a)(4 – a);
в) 

Решение.

а)

Ответ: при a < 0 x ∈ (2a; 0);
при a = 0 x ∈ ;
при a > 0 x ∈ (a; 2a).
б) Преобразуем данное неравенство
(a – x)(x + a) ≥ (x + a) (4 – a),
(a – x)(x + a) – (x + a)(4 – a) ≥ 0,
(x + a)(2a – x – 4) ≥ 0.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, соответствующих данному неравенству.

Чтобы определить координаты точки пересечения прямых, решим уравнение –x = 0,5x + 2, откуда
Тогда
Ответ:

в) Дробь если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поэтому

Изобразим множество точек, соответствующих неравенству

Ответ: при a ≤ –2 x ∈ (–∞; a) ∪ (–2; 2);
при –2 < a < 2 x ∈ (–∞; –2) ∪ (a; 2);
при a ≥ 2 x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; a).

Задание на дом
Задание дается по всему курсу. На занятии № 16 планируется защита решений предложенных задач.

Занятие № 16 Решение задач с параметрами

Данное занятие рассчитано на повторение и обобщение знаний, полученных учащимися во время знакомства с курсом, и проводится как защита решений задач.

Упражнение 1. При каких значениях параметра b корень уравнения принадлежит промежутку (–1; 4)?
Решение. Решив уравнение относительно x, получим, что при любых значениях параметра b уравнение имеет один корень: По условию задачи корень должен принадлежать промежутку (–1; 4), то есть Решим полученное двойное неравенство:

Ответ: при корень уравнения принадлежит промежутку (–1; 4).

Упражнение 2. Решите уравнение

а) относительно x;
б) относительно y.

Решение. Преобразуем уравнение

а) Решим уравнение относительно x: .
Так как x ≠ –1, то y – 1 ≠ –1, то есть y ≠ 0. Итак, если y = 0, то x ∈ ѕ, если y ≠ 0, то x = y – 1.
б) Решим уравнение относительно y:
Тогда при x = –1 y ∈; если x ≠ –1, то y = x + 1.

Ответ: а) при y = 0 x ∈ ;
при y ≠ 0 x = y – 1;
б) при x = –1 y ∈ ,
при x ≠ –1 y = x + 1.

Упражнение 3. Найдите точки пересечения с координатными осями графика функции

Решение. Если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна 0. Если x = 0, то

Итак, точка пересечения графика с осью ординат — (0; –2). У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна 0, то есть Данное уравнение равносильно системе
Если a = 0, то первое уравнение системы примет вид 0∙x = 4, и уравнение не имеет корней.
Если a ≠ 0, то первое уравнение имеет единственный корень Но x ≠ –2, значит, при то есть a = –2, уравнение не имеет корней. Итак, если a = 0 или a = –2, то график не пересекает ось абсцисс, если a ≠ 0 и a ≠ –2, то график пересекает ось абсцисс в точке

Ответ: при a = 0 или a = –2 график пересекает только ось ординат в точке (0; –2);
при a ≠ 0 или a ≠ –2 график пересекает ось ординат в точке (0; –2) и ось абсцисс в точке

Упражнение 4. При каких значениях параметров a и b уравнение (2a – b + 1)x + 2a + b – 3 = 0 имеет не менее двух различных решений?

Решение. Уравнение является линейным относительно переменной x. Оно будет иметь не менее двух различных корней, если при некоторых значениях параметров примет вид 0∙x = 0. Тогда получим систему уравнений

решением которой является пара чисел a = 0,5, b = 2.
Ответ: при a = 0,5, b = 2.

Упражнение 5. При каких значениях параметра b уравнение (a – 3)x = b + 2a имеет корни при любых значениях параметра a?

Решение. Уравнение (a – 3)x = b + 2a может не иметь корней при a = 3. Чтобы и при a = 3 оно имело корни, надо, чтобы оно приняло вид 0∙x = 0.
Решим систему уравнений

Откуда получим: a = 3, b = –6.

Ответ: при b = –6.

Упражнение 6. Решите уравнение (x – a2)(x – | a |) = 0.

Решение. Построим график уравнения (x – a2)(x – | a |) = 0 в координатной плоскости Oxa, где горизонтальная ось — ось a, вертикальная — ось x, прямая a = α в этом случае будет перемещаться слева направо.

Из чертежа видно, что уравнение имеет два корня: x = a2 и x = | a | при a < –1, –1 < a < 0, 0 < a < 1,
a > 1, и один корень x = 1 при a = ±1 или x = 0 при a = 0.

Ответ: при a < –1, –1 < a < 0, 0 < a < 1, a > 1 x = a2 и x = | a |;
при a = 0 x = 0;
при a = ± 1 x = 1.

Упражнение 7. Исследуйте количество решений системы уравнений

в зависимости от значений параметра m.

Решение. Решим уравнение

Тогда
(m – 4)(m + 1) = –2(m + 2), m2 – 3m – 4 = –2m – 4, m2 – m = 0, m = 0 или m = 1.
Рассмотрим пропорцию

При m = 0 получаем: — верно.
Значит, при m = 0 система имеет бесконечно много решений.
Если m = 1, то — неверно,
значит, при m = 1 система не имеет решений.

Ответ: при m = 0 — бесконечно много решений;
при m = 1 нет решений;
при m ≠ 0 и m ≠ 1 — единственное решение.

Упражнение 8. При каких значениях параметра a неравенство справедливо для всех x из промежутка [1; 2]?
Решение. Значение дроби отрицательно, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Тогда

Отсюда

Первая система имеет решения, если 2a + 1 > a, то есть при a > –1. Промежуток [1; 2] не входит во множество решений системы, если

Решением данной системы является промежуток (0,5; 1).
Вторая система имеет решения, если 2a + 1 < a, то есть при a < –1.
Промежуток [1; 2] входит во множество решений системы, если

Данная система не имеет решения.

Ответ: при a ∈ (0,5; 1).

Упражнение 9. Решите неравенство:
а) (x – a)2(x – 2a) < 0;
б) (x – a)2(x – 2a) ≤ 0;
в) | x |(x – a) > 0;
г) | x + a |(x – 2) ≥ 0.

Решение. а) Так как (x – a)2 ≥ 0 при любых значениях переменной, то неравенство
(x – a)2(x – 2a) < 0
выполняется, если
x – 2a < 0, (x – a)2 ≠ 0;
то есть при x < 2a, x ≠ a.
Если 2a > a, то есть a > 0, то решение неравенства x ∈ (–∞; a) ∪(a; 2a).
Если a ≤ 0, то x ∈ (–∞; 2a).

Ответ: при a > 0 x ∈ (–∞; a) ∪ (a; 2a);
при a ≤ 0 x ∈ (–∞; 2a).

б) Так как (x – a)2 ≥ 0 при любых значениях переменной, то неравенство (x – a)2(x – 2a) ≤ 0 выполняется, если x – 2a ≤ 0 или (x – a)2 = 0; то есть при x ≤ 2a или x = a. Если 2a ≥ a, то есть a ≥ 0,
то решение неравенства x ∈ (–∞; 2a], если a < 0, то x ∈ (–∞; 2a] ∪ {a}.

Ответ: при a ≥ 0 x ∈ (–∞; 2a];
при a < 0 x ∈ (–∞; 2a) c {a}.

в) Так как | x | ≥ 0 при любых значениях переменной, то | x |(x – a) > 0, если x > a, x ≠ 0. Если a ≥ 0, то x ∈ (a; +∞), если a < 0, то x ∈ (a; 0) ∪ (0; +∞).

Ответ: при a ≥ 0 x ∈ (a; +∞);
при a < 0 x ∈ (a; 0) ∪ (0; +∞).

г) Так как | x + a | ≥ 0 при любых значениях переменной, то | x + a |(x – 2) ≥ 0, если x ≥ 2 или
x = –a. Если a > –2, то x ∈ [2; +∞) ∪ {–a}, если
a ≤ –2, то x ∈ [2; +∞).

Ответ: при a > –2 x ∈ [2; +∞) ∪ {–a};
при a ≤ –2 x ∈ [2; +∞).

Упражнение 10. Решите систему неравенств

двумя способами (аналитическим и графическим с использованием системы координат Oxa).

Решение. Способ I (аналитический).

Чтобы система имела решение, необходимо, чтобы

откуда a ≥ 1. Если a > 1, то

если a = 1, то x = 1. При a < 1 решений нет.

Способ II (графический). Изобразим в координатной плоскости Oxa множество решений, соответствующих первому и второму неравенству.

Перемещая прямую a = α снизу вверх, получим решения системы неравенств.

Ответ: при a > 1
при a = 1 x = 1; при a < 1 решений нет.

Упражнение 11. Сколько общих точек в зависимости от параметра a имеет график функции

с прямой: а) y = a; б) y = ax?

Решение.

а)

Ответ: при a < –2 — одна точка;
при a = –2 — две точки;
при –2 < a < 2 — три точки;
при a = 2 — бесконечное множество точек;
при a > 2 общих точек нет.

б) 

Ответ: при a < –1 и a > 1 — одна точка;
при a = –1 и a = 1 — две точки;
при –1 < a < 0 — четыре точки;
при 0 ≤ a < 1 — три точки.

Овчинникова Т.