Смысл и язык

Математика — содержательная, конструктивная наука. Каждый шаг в ней наполнен смыслом, постичь который — важнейшая задача обучения. С другой стороны, математика часто выступает в качестве некоторого универсального языка (достаточно вспомнить часто цитируемые слова Галилея: «Природа – открытая книга, написанная на языке математики»). Для передачи своего собственного содержания математика нуждается в некотором языке. Овладение языком математики также является важной задачей обучения. Именно развитие математического языка, его упрощение, придание ему большей ясности и наглядности сделало возможным массовое обучение многим содержательным вещам, которые доступны были лишь избранному кругу людей. Яркий пример тому — переход к позиционной системе счисления.
Очевидно, что смысл невозможно раскрыть, не пользуясь языком и что само развитие языка есть осмысленная задача. Читая знаменитую работу Л. Выготского «Мышление и речь», вспоминаешь стихи О. Мандельштама:

Я словно позабыл, что я хотел сказать,
И мысль бесплотная в чертог теней вернется.

Поэт совершенно точно и образно выразил связь между мыслью и словом, смыслом и языком. Еще неясный, «бесплотный» смысл исчезнет, растает, если мы не подберем адекватный ему язык. Тем не менее при массовом обучении смысл, как правило, должен выступать впереди языка.
Мы учим первоклассников сложению чисел. Это действие имеет наглядный смысл — мы объединяем предметы, ссыпаем их из двух мешков в один и сравниваем при этом их количество. Складывая два числа, 3 и 5, мы получаем число 8 — это сумма чисел 3 и 5. Коммутативность (перестановочность) действия содержится в самой сути, смысле производимого действия. Но кроме глагола сложить мы употребляем еще глагол прибавить, и когда мы к трем прибавляем пять, то действие перестает быть симметричным. Теперь мы должны записать производимое действие на математическом языке. Запись «3 + 5» — это запись прибавления к числу 3 числа 5. Сама эта запись является выражением, то есть элементом языка. И это выражение мы тоже называем суммой, а число 8 — его значением. Итак, мы столкнулись со следующей, очень типичной трудностью обучения: одно и то же слово («сумма») обозначает разные вещи. Его можно понимать как число, результат сложения, а можно понимать как выражение – символическую запись, использующую язык цифр и знаков действий. Обычный прием в таких случаях состоит в том, чтобы развести понятия, дать им разные имена. Полезно сохранять привычные термины, но помнить об их смысле и стараться не путать их. Большинство учебников старается языковой подход сделать основным. Поэтому чаще и раньше используются слова «значение суммы», «значение разности», чем сами результаты — сумма, разность.
Смешение смысла и языка, действия и записи этого действия, не столь безопасно, как это может показаться на первый взгляд. Нашей безответственностью в использовании языка мы, возможно, закладываем с самого начала обучения пренебрежение смыслом того, что мы делаем, открываем путь к формализму, а затем уже и к бессодержательности.
Методика обучения математике в начальной школе особенно щедра на пренебрежение смыслом. «На нуль делить нельзя», «действия бывают первой и второй ступени», «сначала выполняются действия в круглых скобках». Если вдуматься, то все эти привычные фразы направляют мысль учащегося по ложному пути.
Одной из центральных задач методики обучения математике является введение новых математических понятий. Особенностью таких общих понятий как число, площадь, прямая, угол, вектор, функция, производная, многоугольник и т.п. является то, что вводить их надо достаточно рано, а смыслом они будут наполняться постепенно. Можно привести много примеров, когда, используя выкрутасы языка, введение понятия основывается на некоем «правильном определении», которое вбирает в себя весь объем понятия, который абсолютно неизвестен и недоступен ученику. Чем давать «точные определения», уж лучше обойтись описательными или тавтологическими фразами типа «число — это результат счета или измерения», «функция — это правило, по которому...», «многогранник — это тело, ограниченное многоугольниками», «вектор определяется своей длиной и направлением» и т.п. Изучение в средней школе операции дифференцирования вполне могло бы ограничиться описанием его механического (вычисление скорости движущейся точки как функции времени) и геометрического (проведение в каждой точке графика касательной) смыслов. Стандартное определение значения производной в точке как некоего предела есть не что иное как объект языка, содержание и объем которого трудно сделать доступным школьнику.
Есть, тем не менее, одно важное место в школьной математике, где полезно встать на «языковую» точку зрения, наполняя язык смыслом разумно и постепенно. Это место — изучение многочленов и рациональных дробей в курсе алгебры основной школы.
В изучении этой темы в последние несколько десятилетий произошли существенные сдвиги, которые мы оцениваем резко отрицательно. Казалось бы, сущность этих сдвигов в точности совпадает с пропагандируемым нами взглядом на то, что смысл должен предшествовать языку. В качестве смысла многочленов и рациональных дробей был выбран их функциональный смысл. Буквы – это переменные, многочлены и дроби – это определенным образом построенные выражения с переменными, их равенство — это совпадение задаваемых с их помощью функций, то есть равенство значений при всех допустимых значениях переменных. Почему все это плохо? Кратко говоря, мы все-таки встаем на языковую точку зрения, выбирая язык теории функций в качестве основного, забывая о том, что сами-то функции должны по существу изучаться позже, основываясь в том числе на умении работать с многочленами и дробями. Но главное не в этом. Дело в том, что функциональный язык сильно обеднил изучение этой темы, сделал ее малоинтересной, так как наиболее содержательные ее результаты не относятся к функциям. Роль многочленов далеко не исчерпывается задачами теории функций. Более того, она сильно возросла в связи с распространением информатики, где символьное исчисление важнее функционального.
Начнем с буквы. Если буква — это переменная, то мы должны знать, описать с самого начала, какие значения она может принимать. Но дело-то как раз в том и состоит, что для алгебры это делать не нужно и даже вредно. Развивая буквенное исчисление, мы не должны задумываться, какие значения мы будем подставлять вместо букв. Это в принципе неизвестно.
Посмотрите на доказательство «основного свойства дроби» в одном из распространенных учебников.
«Дробь можно сокращать на неравный нулю множитель: если m ≠ 0, то Доказательство. Так как буква m обозначает некоторое неравное нулю число, а буквы а и b некоторые другие числа, то числовую дробь можно сократить на m и получить равенство ».
Не хочется комментировать это доказательство. Оно относится к тем методическим ошибкам, которые в старших классах приводят к полной растерянности учеников при решении уравнений. Поясню.
Язык теории функций не позволяет для дробей А, В и С получить свойство «если А = В и В = С, то А = С», совершенно необходимое для преобразования дробей. Например,

однако почему

при всех допустимых значениях x (например, x = 0) мы объяснить не сможем, если будем понимать равенство дробей как равенство соответствующих функций. Дело в том, что для равенства функций необходимо сопадение их областей определения, что в данном случае не выполняется.
Можно ли иначе ввести многочлены «по смыслу»? Такие попытки можно найти в учебной литературе для университетов. Они без интереса воспринимаются даже профессионалами-математиками. И как же быть? Возможен такой подход.
Многочлены возникли и развивались конструктивно. Проще всего эту конструкцию описать в рамках «языка выражений». Эта точка зрения распространена почти повсеместно, только не всегда она приводится достаточно ответственно.
В качестве исходного понятия берется понятие выражения. При формировании выражений мы должны выбрать запас операций. Это могут быть только сложение и умножение (для конструкции целых выражений); можно к ним добавить деление и получить рациональные выражения; можно еще добавлять операции для конструирования иррациональных, показательных, тригонометрических и других классов выражений.
Ограничимся для примера сложением и умножением. Степени с натуральным показателем будем использовать для краткой записи произведения нескольких одинаковых множителей.
По определению, будем считать, что число — это выражение; далее, если А и В — выражения, то А + В и А•В также являются выражениями. Равенство выражений сначала понимается как формальное их совпадение.
Конструкции А + В и А•В определяют, как ясно, сложение и умножение выражений. Далее можно постепенно расширять понятие равенства выражений, вводя допустимые преобразования и считая два выражения равными, если от одного к другому можно перейти цепочкой допустимых преобразований. Допустимые преобразования можно определять постепенно, по мере надобности, опираясь прежде всего на свойства чисел. Фактически мы разбиваем выражения на некоторые классы эквивалентности, называя объекты одного класса равными между собой.
Далее можно выбрать в классах (то есть среди равных выражений) некоторых представителей и присвоить им имена. Так, имея одну букву x, можно назвать многочленом выражение вида
anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0, где an ≠ 0 (и добавить еще нулевой многочлен). Теперь станет осмысленной задача приведения выражения к виду многочлена.
Такую точку зрения легко привести во всех подробностях (разумеется, не в классе, а для себя), чтобы выработать точку зрения на формальные упражнения, связанные с преобразованием выражений, не привлекая значения выражений, то есть не вставая на теоретико-функциональную точку зрения.
Добавим к этому, что равенство дробей и где A, B, C, D — целые выражения (со знаменателями, не являющимися нулевыми выражениями), разумно определить через равенство целых выражений AD = BC.
Для того, чтобы понять преимущества такого подхода, надо, конечно, привести интересные, содержательные задачи, и мы нашли много таких.
Итак, наша конструкция, хотя и началась как формальная языковая конструкция, постепенно наполнилась смыслом, который позволит сильно раздвинуть горизонты изучаемого материала.

Башмаков М.